núcleo y la nulidad de $T: P_2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(p(x)) = \begin{bmatrix}p(0)\\p(1)\end{bmatrix}$

Question

No estoy 100% seguro de esta cuestión:

Encuentra la nulidad de $T: P_2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ con $T(p(x)) = \begin{bmatrix}p(0)\\p(1)\end{bmatrix}$

Primero traté de encontrar $\ker T$ que creo que es:

$\ker T = \{0\}$

como $p(0) = 0 \Rightarrow a = 0$ en $a + bx + cx^2$

A raíz de esto, concluí que la dimensión del núcleo = nulidad T = 0.

¿Es correcto mi proceso de pensamiento?

EDIT: como dijo moonlight, la nulidad es 1.

No reconocí lo siguiente $a=0$ en $a + bx + cx^2$ eso:

$p(1) = 0 \Rightarrow b = -c$

así que $\ker T = \{bx -bx^2 | b\in \mathbb{R}\}$

Answer 1

No. Si $p(x)\in\ker T$ entonces $p(0)=p(1)=0$ . Así que $p(x)=ax(x-1)$ por el Teorema del Factor.

Así que $\dim\ker T=\dim\{ax(x-1)\mid a\in\Bbb R\}=1$ , por lo que la nulidad de $T$ es 1.

Answer 2

$T(p(x)) = \begin{bmatrix}p(0)\\p(1)\end{bmatrix}$ Ahora los elementos base de $P_2$ son

$P_2 = \{1\ ,x\ ,x²\}$

Ahora ,

$T(1) =\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ = 1 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ + 1 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

$T(x) =\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ = 0 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ + 1 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

$T(x²) =\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ = 0 $\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ + 1 $\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

Ahora la representación matricial de la transformación viene dada por $\begin{bmatrix}1 & 0 &0\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$

Ahora encontraremos los elementos base de N(T)= espacio solución de AX=0

$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$

$\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right]$ $\Rightarrow\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 0\\0 & -1 & -1 & 0\end{array}\right]$

Ahora bien, el rango de la matriz es $2$ Y por el teorema de nulidad de rango ,

$\Rightarrow\ 3= Rank(T)+Nullity (T)$ $\Rightarrow\ 3= 2 +Nullity (T)$ $\Rightarrow\ Nullity (T) = 1$