Producto cartesiano y conjuntos - Matemáticas discretas

Question

No estoy seguro de cómo responder a este tipo de pregunta, ¿alguien puede explicar cómo responder paso a paso?

$1)$ Recuerda que el producto cartesiano $A\times A$ se define como el conjunto $$\{(x,y):x\in A\land y\in A\}.\tag{I}$$. Así que si por ejemplo $A=\{1,2,3\}$, $$A\times A=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\}.$$

Considera un conjunto $A\neq \varnothing$ donde el número $|A|$ de elementos de $A$ es $20$ menos que el número $|A\times A|$ de elementos en $A\times A$. Así que $|A|+20=|A\times A|$.

Determina el número de elementos en $A$. $$$$

$2)$ Recuerda que el producto cartesiano $A \times A$ se define como $(\rm I)$. Así que si por ejemplo $A = \{a, b, c\}$, $$A \times A = \{(a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c)\}.$$

Considera un conjunto $A\neq \varnothing$ donde el número $|A|$ de elementos de $A$ es $30$ menos que el número $|A \times A|$ de elementos en $A \times A$. Así que $|A| + 30 = |A \times A|$.

Determina el número de elementos en $A$.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Pista:

Debes tener en cuenta que, para conjuntos finitos no vacíos $S$,

$$|S\times S| =|S|^2$$

y en general, para un producto $n$-ario

$$\left| \prod_{i=1}^n S \right| = |S|^n$$

Con esto en mente, tus ecuaciones se convierten en cuadráticas en términos de una variable que es la cardinalidad de $A$, lo que te dará el número de elementos en $A$.

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Pista $\#2$:

También no olvides: si terminas con soluciones no enteras, o bien lo hiciste mal, o el problema está mal planteado - "media elemento" no tiene sentido. (No obtendrás soluciones no enteras en este escenario, al menos si hiciste bien las matemáticas.)

De manera similar, no puedes tener números negativos de elementos en un conjunto.

Answer 2

**Pista:** Intenta pensar en esto de forma algebraica. El producto cartesiano de $A$ VECES $A$ es $A^2$. ¿Cómo puedes establecer esto en una ecuación algebraica? Debería ser algún tipo de ecuación cuadrática.