Cuáles son los conjuntos $S_n=\omega-n$ ¿se llama?

Question

Cuáles son los conjuntos $S_n$ donde $S_n:=\omega-n$ ¿se llama?

Me explico mejor: si los ordinales se definen de esta manera

$0=\varnothing$

$1=\{\varnothing\}=\{0\}$

$2=\{0,1\}$

$n=\{0,1,..,n-1\}$

$\omega=\{0,1,2,..\}$

1. Cuáles son los conjuntos $S_n=\omega-n=\{n,n+1,n+2,...\}$ ¿se llama?

2. Por cada $S_n$ , $|S_n|=\aleph_0$ ? ¿Por qué no puede existir un $S_n$ con un número finito de elementos (puedo pensarlo mentalmente pero no veo la forma de encontrar cuáles son esos elementos)?

3. Hace $S_{\omega}=\varnothing$ ? (Intuitivamente diría que sí, porque como los elementos de $n\cup S_n$ son los elementos de $\omega$ , $\omega -\omega=\varnothing$ porque si tomo de los naturales todos los naturales tengo el conjunto vacío).

A lo mejor lo que he dicho no tiene sentido, alguien puede explicar mejor esto, lo que yo no veo.

Answer 1

1. Probablemente los llamaría segmentos finales de $\omega$ pero no creo haber visto antes que estos conjuntos se refieran a algo en particular.
2. Desde $S_n \subseteq \omega$ entonces $S_n$ es finito o contablemente infinito. Si fuera finito, entonces $\omega$ sería la unión de dos conjuntos finitos, ¡lo cual es absurdo!
3. Si se define $S_\omega$ para ser $\omega \setminus \omega$ (por analogía con $S_n$ ), entonces, sí, $S_\omega = \emptyset$ . Si se define $S_\omega$ para ser $\bigcap_{n < \omega} S_n$ y, a continuación, de nuevo $S_\omega = \emptyset$ ya que $n \notin S_{n+1} \supseteq S_\omega$ para todos $n \in \omega$ .

Answer 2

1. El secuencia $(1, 2, \ldots, n - 1)$ es un segmento inicial del secuencia $(1, 2, 3, \ldots)$ y $(n, n+ 1, n + 1 \ldots)$ es un segmento final. Supongo que se podría llamar al conjunto $\{n, n+ 1, n + 1 \ldots\}$ un segmento final también, tomando el orden habitual como se entiende.
2. ¿Por qué no puede existir un $S_n = \{n, n +1, n + 2 \ldots\}$ con un número finito de elementos? Porque existe una obvia biyección entre los elementos de $S_n$ y $\mathbb{N}$ (mapa) $n + k \in S_n$ a $k \in \mathbb{N}$ ): así que, por definición, $S_n$ es contablemente infinito.
3. ¿Qué es? $S_{\omega}$ ? Sólo ha definido $S_n$ para un número finito de $n$ . Si la idea es que $S_{\omega} =_{\mathrm{def}} \omega - \omega$ y el "menos" sigue indicando la diferencia de conjunto, entonces sí, $S_{\omega}$ está vacía.

Answer 3

No soy consciente de un nombre en particular. En conjunto, esta colección es el conjunto de segmentos finales/colas de $\omega$ .

Si tuviera que dar un nombre a estos conjuntos, probablemente diría que $S_n$ es el " $n$ la cola de $\omega$ ".

Todos estos son infinitos porque de lo contrario $n\cup S_n$ es la unión de dos conjuntos finitos - imposible.