Pregunta sobre la desigualdad en la prueba de $\lim_{x\to 4}{\sqrt{x}}=2$ por $\epsilon$ - $\delta$ ¿método?

Question

Lo que quiero probar es

$\lim_{x\to 4}{\sqrt{x}}=2$

Lo siguiente es de mi libro de texto

Encontrando a $\delta$ . Sea $\epsilon\gt 0$ . Buscamos un $\delta\gt 0$ , s.t.

$if\quad 0\lt|x-4|\lt\delta,\quad then\quad|\sqrt{x}-2|\lt\epsilon$

Para poder formar $\sqrt{x}$ necesitamos tener $x\ge 0$ . Para asegurar esto, debemos tener $\delta\le 4$ .

¿Cómo derivar/traducir esta afirmación en una desigualdad?

Answer 1

Tenga en cuenta en primer lugar que $|x-4|=|\sqrt x-2||\sqrt x+2|$ cuando $\sqrt x$ existe.

Ahora, dejemos que $\delta=\min(4,2\epsilon)$ . Entonces, si $|x-4|<\delta$ , $\sqrt{x}$ existe (en particular, $|\sqrt x+2|\ge 2$ ), y

$$|\sqrt x-2|=\frac{|x-4|}{|\sqrt x+2|}\le\frac{1}{2}|x-4|<\frac{1}{2}(2\epsilon)=\epsilon.$$

Mira lo que ha pasado aquí. ¿Por qué elegimos $\delta=\min(4,2\epsilon)$ ? Necesitábamos $\delta\le 4$ porque así se garantiza que $\sqrt x$ existe, y necesitábamos $\delta\le 2\epsilon$ para asegurar que la desigualdad anterior funcione. Por lo tanto, el mínimo de los dos fue suficiente.

Edición: Voy a demostrar que si $\delta\le 4$ entonces $|x-4|<\delta$ implica $x\ge0$ .

Dejemos que $|x-4|<\delta$ . Si $x>4$ Entonces, por supuesto $x>0$ . Por lo demás, $x\le 4$ y tenemos

$$4\ge\delta>|x-4|=4-x$$

lo que implica $0\ge -x$ es decir $x\ge0$ .

Creo que la manera de pensar en esto intuitivamente es en términos de distancias. Es decir, deberías leer $|x-4|<\delta$ como "la distancia entre $x$ y $4$ es menor que $\delta$ ".

En particular, si $\delta\le 4$ entonces $|x-4|<\delta$ dice "la distancia entre $x$ y $4$ es menor que $4$ ", que significa $x$ debe ser mayor que $0$ .