Variable aleatoria lognormal por una constante

Question

Si $X$ es una variable aleatoria distribuida lognormalmente, entonces podemos decir que $Y=cX$ para $x\in \mathbb{R}^+$ ¿también es lognormal? Creo que si $c$ es lo suficientemente grande se aplica el teorema del límite central y $Y$ será normal. Pero supongo que para valores razonables de $c$ (por ejemplo $c<30$ ) tal vez no sea cierto.

Principalmente estoy pensando en el caso de que necesitemos cambiar las unidades de $X$ . ¿Cambiar las unidades de una cantidad cambia también su distribución?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $X$ es un variable aleatoria log-normal entonces se puede escribir como

$$X=e^{\mu+\sigma Z}$$ donde $Z$ es de distribución normal estándar.

Entonces, para un $c>0$

$$cX=ce^{\mu+\sigma Z}=e^{\ln(c)}e^{\mu+\sigma Z}=e^{\mu+\ln(c)+\sigma Z}=e^{\mu'+\sigma Z}.$$

Así que, $cX$ sigue siendo log-normal. ( $c$ no puede ser negativa porque una variable aleatoria negativa no puede ser logarítmica normal. La definición de la distribución log-normal contiene la necesidad de tomar el logaritmo de $X$ .)

No entiendo qué tiene que ver esto con el teorema del límite central. $c$ no es el tamaño de una muestra; es un factor de escala.