Resistencia entre dos puntos de una esfera/cubo metálico infinito

Question

Imaginemos que tenemos un objeto metálico tridimensional de tamaño infinito, y decidimos calcular la resistencia entre dos puntos arbitrarios. ¿Cómo lo haríamos?

He pensado en dos posibilidades para calcularlo, la primera es una adaptación de la conductividad (S/m) utilizando el teorema de Pitágoras para encontrar una distancia y a partir de ahí aislar la resistencia, tratándola como trataríamos un líquido electrolítico.

La segunda posibilidad en la que he estado pensando sería una adaptación en 3 dimensiones del problema de los resistores infinitos (que sólo he visto en 2 dimensiones).

¿Uno de estos métodos daría una aproximación decente, u otro método daría mejores resultados?

Answer 1

Para un material homogéneo caracterizado por un resistividad $\rho$ (en $\Omega m$ ) la resistencia entre dos puntos de contacto cualesquiera es ilimitada. Esta resistencia "infinita" se aplica incluso si se sustituye un punto de contacto por una zona de contacto esférica centrada alrededor del punto. Compruébelo usted mismo y calcule la resistencia para esta última configuración integrando $ \rho /(4 \pi r^2)$ desde cero hasta cualquier distancia radial finita.

Otra forma de reconocer esta divergencia es mediante el análisis dimensional. Para obtener a partir de una resistividad $\rho$ medido en $\Omega m$ a una resistencia $R$ medido en $\Omega$ hay que dividir $\rho$ por una escala de longitud. Esta escala de longitud no puede ser la distancia entre los contactos, ya que esto conduciría al comportamiento no físico de la resistencia entre dos puntos que disminuye con el aumento de la distancia. Resulta que la escala de longitud relevante es el tamaño lineal $r$ de los contactos eléctricos: $R \approx \rho / r$ .

Físicamente, lo que ocurre es que la intensidad del campo eléctrico diverge hacia un punto de inyección de corriente. Hay que suponer áreas de contacto finitas para obtener una respuesta significativa.