Una desigualdad matricial para matrices definidas positivas

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean matrices complejas positivas semidefinidas autoadjuntas del mismo orden finito. El, ¿es cierto que $|X-Y|\leq X+Y$ donde para cualquier matriz $A$ , $|A|$ se define como $|A|:=(A^*A)^{\frac{1}{2}}$ ?

PS. Creo que la respuesta es No . Pero no he podido encontrar ningún contraejemplo.

Answer 1

La respuesta es No . He aquí un contraejemplo: $$X=\begin{pmatrix} 9 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}.$$

Answer 2

Solución parcial. Cuando $X$ y $Y$ de la UE, la respuesta es "Sí". De hecho, en este caso, la igualdad en la pregunta es equivalente a $XY+YX\geq0$ y seguro que esto es cierto.