Dejemos que $R=k[x_1,x_2,...,x_n]$ y $S\subset R$ sea el anillo de polinomios invariantes bajo la acción de un subconjunto finito $G\subset \operatorname{GL}(n,k)$ . Sea $M$ sea el ideal de $S$ generado por todos los elementos homogéneos de $S$ de grado positivo.
La cuestión es: demostrar que podemos encontrar homogéneos $f_1,f_2,...,f_k\in S$ de manera que estos $f_i$ generar el ideal $MR\subset R$ .
Mi libro deja fuera esta parte de la prueba como algo trivial... Sin embargo, estoy perdido por qué esto debería ser obvio (o incluso por qué esto podría hacerse para el asunto). Mi suposición es que esto no debería ser una prueba constructiva. ¿Alguna idea para demostrar esta afirmación?
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Bastaría con demostrar que $M$ está finitamente generada.
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@Servaes eso tiene sentido. Gracias
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Quizás, aplicando el teorema de la base de Hilbert a tu ideal $MR$ primero. A continuación se promedian los generadores con respecto a $\langle G \rangle$ al menos cuando el orden de $\langle G \rangle$ es finito e invertible en $k$ . Las partes homogéneas de los polinomios resultantes serían incluso un conjunto generador finito de $M$ en $S$ .
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¿Es "demostrar que podemos encontrar" pedir una prueba constructiva? Estoy bastante seguro de que hay una, al menos cuando $G$ es un grupo y $k$ tiene la característica $0$ (véase el límite de Noether).