Cómo enumerar los elementos de $\Bbb Z_j=\{x \in \Bbb Z\,|\, x-j=km \text{ for some } k \in \Bbb Z\}$ de su notación de constructor de conjuntos?

Question

Dejemos que $m$ sea cualquier número entero positivo fijo. Para cada número entero $j$ , $0\le j \lt m$ , dejemos que $\Bbb Z_j=\{x \in \Bbb Z\,|\, x-j=km \text{ for some } k \in \Bbb Z\}$ .

Las notaciones de conjunto para $\Bbb Z_0$ , $\Bbb Z_1$ , $\Bbb Z_2$ sería la siguiente. Entonces, ¿cómo se enumeran los elementos de $\Bbb Z_0$ , $\Bbb Z_1$ , $\Bbb Z_2$ a partir de las anotaciones de los conjuntos que aparecen a continuación?

$\Bbb Z_0= \{x \in \Bbb Z\,|\, x=km \text{ for some } k \in \Bbb Z\}$

$\Bbb Z_1= \{x \in \Bbb Z\,|\, x=km+1 \text{ for some } k \in \Bbb Z\}$

$\Bbb Z_2= \{x \in \Bbb Z\,|\, x=km+2 \text{ for some } k \in \Bbb Z\}$

FYI

"Definición 6 Sea F una familia arbitraria de conjuntos. La unión de los conjuntos en F, denotada por $\bigcup\mathscr F$ es el conjunto de todos los elementos que están en A para algún $A\in\mathscr F$ .

$\bigcup\limits_{A \in \mathscr F}A$ ={ $x\in U$ | $x \in A$ para algunos $A\in \mathscr F$ }"

"Definición 7 Sea F una familia arbitraria de conjuntos. La intersección de conjuntos en F, denotada por $\bigcap\limits_{A\in\mathscr F}A$ o $\bigcap\mathscr F$ es el conjunto de todos los elementos que están en A para todo $A \in\mathscr F$ . " $\bigcap\limits_{A\in\mathscr F}A$ ={ $x\in U$ | xA para todos los $A\in \mathscr F$ }

Fuente: Teoría de Conjuntos por You-Feng Lin, Shwu-Yeng T. Lin.

Answer 1

¿Buscas algo así? $$\Bbb Z_0 = \{0, \pm m, \pm2m, \pm3m, \ldots\}\\ \Bbb Z_1 = \{1, \pm m +1, \pm2m + 1, \ldots\}\\ \Bbb Z_2 = \{2, \pm m +2, \pm2m + 2, \ldots\} $$

Voy a hacer un ejemplo concreto, para que veas cómo funciona. Digamos que $m = 3$ . Entonces $$ \Bbb Z_0 = \{x \mid x = 3k\text{ for some }k\in \Bbb Z\} $$ Se escribe " $\Bbb Z_0$ es el conjunto de todos los $x$ tal que $x = 3k$ para algunos $k \in \Bbb Z$ ". Esto significa que $15 \in \Bbb Z_0$ , ya que $15 = 3\cdot 5$ (en ese caso, $k = 5$ ). Sin embargo, $43 \notin \Bbb Z_0$ porque hay no $k\in \Bbb Z$ para que $43 = 3k$ . Obtenemos $$ \Bbb Z_0 = \{0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \ldots\} = \{0, 3, -3, 6, -6, 9, -9,\ldots\} $$ Por otro lado, tenemos $$ \Bbb Z_1 = \{x \mid x = 3k+1\text{ for some }k \in \Bbb Z\} $$ lo que significa que un número $x$ es un elemento de $\Bbb Z_1$ si existe un $k\in \Bbb Z$ tal que $x = 3k+1$ . Por ejemplo, $43 \in \Bbb Z_1$ ya que hay un $k\in \Bbb Z$ que hace que $43 = 3k + 1$ (es $14$ ). Sin embargo, $15 \notin \Bbb Z_1$ ya que no hay ningún número entero $k$ tal que $15 = 3k + 1$ . Esto da $$ \Bbb Z_1 = \{1, \pm3 + 1, \pm6 + 1, \ldots\} = \{1, 4, -2, 7, -5, \ldots\} $$ Por último, exactamente de la misma manera, obtenemos $$ \Bbb Z_2 = \{2, \pm3 + 2, \pm 6 + 2, \ldots\} = \{2, 5, -1, 8, -4,\ldots\} $$

Answer 2

Empieza con otra notación: $r+m\mathbb Z:=\{r+mk\mid k\in\mathbb Z\}$ .

Esto en lugar de $\mathbb Z_r$ .

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Ahora defina $\mathbb Z/m\mathbb Z:=\{r+m\mathbb Z\mid r=0,1,\dots,m-1\}$ .

Entonces $\mathbb Z/m\mathbb Z$ es una lista de los conjuntos que menciona.

Tenga en cuenta que - definido así - $\mathbb Z/m\mathbb Z$ es una partición de $\mathbb Z$ .

Otra notación comúnmente utilizada para $\mathbb Z/m\mathbb Z$ es $\mathbb Z_m$ .

Sin embargo, esa notación ya se utiliza, por desgracia, en su pregunta.

Siguiendo su notación (no me gusta) tenemos $\mathbb Z/m\mathbb Z:=\{\mathbb Z_0,\dots,\mathbb Z_{m-1}\}$ .