¿Es cierto que una función convexa sobre un subconjunto acotado de $R^n$ está acotado por debajo?

Question

Si $\Omega$ es un subconjunto convexo acotado de $\mathbb{R}^n$ y $f$ es una función convexa sobre $\Omega$ ¿podemos decir que $f$ está acotado a la baja en $\Omega$ ? Si no es cierto, ¿puede alguien proporcionar un contraejemplo?

Answer 1

Supongo que $f$ se mapea en los números reales. Entonces es continua en el interior relativo de $\Omega$ . Utilizando un argumento de separación en el epígrafe se demuestra que $f$ está limitada desde abajo por una función afín. Por tanto, está acotada en el conjunto acotado.