Desigualdad:$ (a^{2}+c^{2})(a^{2}+d^{2})(b^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})\leq 25$

Question

Para$ a,b,c,d\geq 0 $$ a+b = c+d = 2 $, como para demostrar que $$ (a^{2}+c^{2})(a^{2}+d^{2})(b^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})\leq 25$$

Answer 1

Vamos a hacer uso repetido de la identidad de $(p^2+q^2)(r^2+s^2)=(pr-qs)^2+(ps+qr)^2$.

Aplicación a los dos primeros términos de los rendimientos $$ (a^2+c^2)(a^2+d^2)=(a^2-cd)^2+(a(c+d))^2=(a^2-cd)^2+(2a)^2 \, . $$ Del mismo modo, el tercer y cuarto términos multiplicar a $(b^2-cd)^2+(2b)^2$.

La aplicación de la identidad de estas dos cantidades, tenemos $$ \left[(a^2-cd)^2+(2a)^2\right]\left[(b^2-cd)^2+(2b)^2\right] \\ = \left[(a^2-cd)(b^2-cd)-4ab\right)^2+\left[(a^2-cd)(2b)+(b^2-cd)(2a)\right)^2 \\ =: Q^2+R^2 \, , $$ y ahora vamos a trabajar en la simplificación de $Q$ $R$ por separado.

En primer lugar, \begin{eqnarray} Q &=& (a^2-cd)(b^2-cd)-4ab \\ &=& a^2b^2-(a^2+b^2)cd+c^2d^2-4ab \\ &=& a^2b^2-(a^2+2ab+b^2)cd+2abcd + c^2d^2-4ab \\ &=& a^2b^2-4cd+2abcd+c^2d^2-4ab \\ &=& ab(ab+cd-4)+cd(ab+cd-4)\\ &=& (ab+cd)(ab+cd-4) \, . \end{eqnarray}

Siguiente, \begin{eqnarray} R &=& (a^2-cd)(2b)+(b^2-cd)(2a) \\ &=& 2ba^2-2bcd+2ab^2-2acd \\ &=& 2ab(a+b)-2cd(a+b)\\ &=&4(ab-cd) \, . \end{eqnarray}

Por lo que la cantidad que estamos tratando de obligado es igual a $$ \left[(ab+cd)(ab+cd-4)\right)^2+[4(ab-cd)]^2 \, . $$ Vamos $x=ab$, $y=cd$. Luego de las limitaciones de la $a,b,c,d$ implica que $x,y$ cada variar libremente sobre $[0,1]$. Así, con el fin de demostrar la desigualdad, es suficiente para mostrar que $$ f(x,y)=(x+y)^2(x+y-4)^2+16(x-y)^2 $$ está delimitado por encima de 25 en la plaza de la unidad.

Para mostrar esto, primero hacemos el cambio temporal de las variables $s=x+y$, $t=x-y$; deje $F(s,t)=s^2(s-4)^2+16t^2$ ser el pullback de $f$ en virtud de este cambio de coordenadas. A continuación, $F_s=2s(s-4)(2s-4)$ es nonvanishing para $0<s<2$. De ello se desprende que $F$ no tiene puntos críticos en esta tira, y por lo tanto que $f$ no tiene puntos críticos en el interior de la unidad cuadrada. Por lo $f$ llegará a su máximo en algún lugar en la frontera.

Desde $f$ es simétrica en sus argumentos, basta examinar las funciones $f_0(y)=f(0,y)$$f_1(x)=f(x,1)$. Tenemos $$f_0(y)=y^2(y-4)^2+16y^2=y^4-8y^3+32y^2 \\ f_0'(y)=4y^3-24y^2+64y=4y(y^2-6y+16)=4y((y-3)^2+7) \, ; $$ por lo tanto $f_0'$ es distinto de cero en $(0,1)$, lo $f_0$ no tiene puntos críticos en $(0,1)$. También, $$ f_1(x)=(x+1)^2(x-3)^2+16(x-1)^2=((x-1)^2+1)^2\\ f_1'(x)=4(x-1)((x-2)^2+1)^2 \, ; $$ por lo tanto $f_1'$ es también distinto de cero en $(0,1)$, e $f_1$ no tiene pertinentes de puntos críticos. Por lo $f$ es maximizada en una de las esquinas de la plaza.

Finalmente, $$ f(0,0)=16 \\ f(0,1)=25 \\ f(1,1)=16 $$ y, entonces, el valor máximo de $f$ es de 25, como se desee.