Tipos de isomorfismo o teoría de la estructura para el análisis no estándar

Question

Mi pregunta es sobre análisis no estándar y las diversas posibilidades de elección del modelo no estándar R*. Aunque se oye hablar de el reales no estándar R*, por supuesto hay muchas posibilidades no isomórficas para R*. Mi pregunta es, ¿qué tipo de teoremas de estructura hay para los tipos de isomorfismo de estos modelos?

Antecedentes. En el análisis no estándar, uno considera los números reales R, junto con cualquier estructura sobre los reales que se considere relevante, y construye una versión no estándar R*, que tendrá elementos infinitesimales e infinitos útiles para muchos propósitos. Además, habrá una versión no estándar de cualquier estructura que se haya colocado en el modelo original. Lo sorprendente es que hay una Principio de transferencia , que afirma que cualquier propiedad de primer orden sobre la estructura original verdadera en los reales, es también verdadera en los reales no estándar R* con su estructura. En el lenguaje ordinario de la teoría de modelos, el Principio de Transferencia es simplemente la afirmación de que la estructura (R,...) es una subestructura elemental de los reales no estándar (R*,...). Seamos generosos aquí, y consideremos como reales estándar la estructura con los reales como conjunto subyacente, y que tiene todas las funciones y predicados posibles sobre R, de toda aridad finita. (Supongo que también es común considerar análogos de tipo superior, donde se itera el conjunto de potencias ω muchas veces, o incluso ORD muchas veces, pero dejemos eso por ahora).

La colección que me interesa es la de todas las posibles extensiones elementales no triviales de esta estructura. Cualquier extensión de este tipo R* tendrá los elementos infinitesimales e infinitos útiles que motivan el análisis no estándar. Es un ejercicio de lógica matemática elemental encontrar tales modelos R* como ultrapoderes o como consecuencia del teorema de compacidad en la teoría de modelos.

Como habrá extensiones de cualquier cardinalidad deseada por encima del continuo, hay muchas versiones no isomorfas de R*. Incluso cuando consideramos R* de tamaño continuo, los modelos que surgen a través de ultrapoderes presumiblemente exhibirán algunas propiedades de saturación, mientras que parece que también podríamos construir ejemplos no saturados.

Así que mi pregunta es: ¿qué tipo de teoremas de estructura hay para la clase de todos los modelos no estándar R*? ¿Cuántos tipos de isomorfismo hay para los modelos de tamaño continuo? ¿Cuánto o poco del tipo de isomorfismo de una estructura está determinado por el tipo de isomorfismo de la estructura de campo ordenado de R*, o incluso por la estructura de orden de R*?

Answer 1

Lo siguiente fue útil en un trabajo reciente sobre conos asintóticos con Kramer, Shelah y Tent. ¿Cuántos ultraproductos $\prod_{\mathcal{U}} \mathbb{N}$ existen hasta el isomorfismo, donde $\mathcal{U}$ es un ultrafiltro no principal sobre $\mathbb{N}$ ? Si $CH$ se mantiene, entonces obviamente sólo uno ... si $CH$ falla, entonces $2^{2^{\aleph_{0}}}$ .

En el caso de que $CH$ falla, los ultraproductos ya son no isomorfos como conjuntos linealmente ordenados. La prueba utiliza las técnicas del capítulo VI del libro de Shelah libro "Classification Theory and the Number of Non-isomorphic Models".

Answer 2

Bajo una suposición no poco razonable sobre la aritmética cardinal, a saber $2^{<c}=c$ (lo que se deduce de la hipótesis del continuo, o del axioma de Martin, o de la ecuación característica cardinal t=c), el número de posibilidades no isomórficas para *R de cardinalidad c es exactamente 2^c. Para ver esto, el primer paso es deducir, de $2^{<c} = c$ que existe una familia X de 2^c funciones de R a R tal que dos cualesquiera de ellas coinciden en estrictamente menos de c lugares. (Demostración: Consideremos el árbol binario completo de altura (el ordinal inicial de la cardinalidad) c. Por supuesto, sólo tiene c nodos, así que etiquetemos los nodos por números reales de forma unitaria. Entonces, cada uno de los 2^c caminos que atraviesan el árbol determina una función f:c \Na R, y dos funciones cualesquiera coinciden sólo en aquellos ordinales $\alpha\in c$ por debajo del nivel en el que se bifurcan los caminos asociados. Compóngalo con su biyección favorita R\a c y obtendrá los mapas reivindicados g:R \a R). Consideremos ahora cualquier modelo no estándar *R de R (donde, como en la pregunta, R se ve como una estructura con todas las funciones y predicados posibles) de cardinalidad c, y consideremos cualquier elemento z en *R. Si aplicamos a z todas las funciones *g para g en X, obtenemos lo que parecen ser 2^c elementos de *R. Pero se ha supuesto que *R sólo tiene cardinalidad c, así que muchos de estos elementos deben coincidir. Es decir, tenemos algunos (de hecho muchos) g y g' en X tales que *g(z) = *g'(z). Ordenamos X de modo que, en R, g y g' coinciden sólo en un conjunto A de tamaño $<c$ y ahora tenemos (por elementalidad) que z está en *A. Se deduce que el tipo 1 realizado por z, es decir, el conjunto de todos los subconjuntos B de R tales que z está en *B, está completamente determinado por la siguiente información: A y la colección de subconjuntos B de A tales que z está en *B. El número de posibilidades de A es $c^{<c} = 2^{<c} = c$ por nuestra suposición aritmética cardinal, y para cada A sólo hay c posibilidades para B y, por tanto, sólo 2^c posibilidades para el tipo de z. Lo mismo ocurre con los n-tipos realizados por n-tuplas de elementos de *R; sólo hay 2^c n-tipos para cualquier n finito. (Prueba para n-tipos: O bien se repite el argumento anterior para las n-tuplas, o bien se utiliza que las estructuras tienen funciones de emparejamiento para poder reducir los n-tipos a 1-tipos). Finalmente, dado que cualquier *R de tamaño c es isomorfo a uno con universo c, su tipo de isomorfismo se determina si conocemos, para cada tupla finita (de las que hay c), el tipo que realiza (de las que hay 2^c), por lo que el número de modelos no isomorfos es como máximo (2^c)^c = 2^c.

Para pasar de "como mucho" a "exactamente" basta con observar que (1) todo ultrafiltro no principal U sobre el conjunto N de los números naturales produce un *R del tipo deseado como ultrapoder, (2) que dos de estos ultrapoderes son isomorfos si y sólo si los ultrafiltros que los producen son isomorfos (mediante una permutación de N), y (3) que hay 2^c ultrafiltros no isomorfos sobre N.

Si dejamos de lado la suposición de que $2^{<c}=c$ entonces no tengo una respuesta completa, pero aquí hay una información parcial. Sea \kappa el primer cardinal con 2^\kappa > c; así que ahora estamos considerando la situación en la que \kappa < c. Para cada elemento z de cualquier *R como arriba, sea m(z) el cardinal más pequeño de cualquier conjunto A de reales con z en *A. El argumento anterior se generaliza para mostrar que m(z) nunca es \kappa y que si m(z) es siempre < \kappa entonces obtenemos el mismo número 2^c de posibilidades para *R que antes. La dificultad es que ahora m(z) podría ser estrictamente mayor que \kappa. En este caso, el tipo 1 realizado por z equivaldría a un ultrafiltro U en m(z) > \kappa tal que su imagen, bajo cualquier mapa m(z) \kappa, se concentra en un conjunto de tamaño < \kappa. Además, U no podría ser regular (es decir, (\omega,m(z))-regular en el sentido definido por Keisler hace tiempo). Se sabe (creo) que cualquiera de estas propiedades de U implica la existencia de modelos internos con cardinales grandes (pero no recuerdo cuán grandes). Si todo esto es correcto, entonces no sería posible demostrar la consistencia, respecto a sólo ZFC, de la existencia de más de 2^c *R's no isomórficos.

Por último, Joel preguntó sobre una teoría de la estructura para tales *R's. En general, sin restringir la cardinalidad de *R a sólo c, uno puede describir tales modelos como límites directos de ultrapoderes de R con respecto a ultrafiltros en R. Las incrustaciones involucradas en tal sistema directo son las incrustaciones elementales dadas por las relaciones de orden de Rudin-Keisler entre los ultrafiltros. (Para la gente de los grandes cardinales: Esto es igual que lo que ocurre en los "ultrapoderes" con respecto a los extensores, salvo que aquí no tenemos ninguna fundamentación). Y este último párrafo no tiene nada que ver particularmente con R; lo análogo vale para extensiones elementales de cualquier estructura de la forma (S, todos los predicados y funciones sobre S) para cualquier conjunto S.

Answer 3

Permítanme ofrecer un contrapunto a la excelente respuesta de John.

Bajo la Hipótesis del Continuo, la versión ultrapotente de R* estará saturada en cualquier lenguaje contable. Es decir, realizará todos los tipos contables finitamente realizables con un número contable de parámetros. Así, por la construcción habitual de ida y vuelta, si llevamos la reducción a cualquier parte contable del lenguaje, como la estructura de campos ordenados y más, entonces bajo la CH sólo habrá una saturado modelo de continuo de tamaño.

No estoy seguro de si la construcción de John puede producir modelos saturados, pero si es así, entonces bajo CH esta observación responderá a su pregunta al final sobre si uno puede tener R* no isomórficos que son órdenes isomórficos o incluso como campos ordenados.

Answer 4

Ver el libro de Robinson Análisis no estándar (North-Holland 1966)...
La sección 3.1 contiene algunas observaciones sobre el tipo de orden de los números naturales no estándar.