Ejemplo 2.5 en la introducción a la teoría de grupos de Rotman

Question

Dejemos que $G, H$ ser grupos y $f,g:G \rightarrow H$ y que $$K = \left\{ a \in G | f ( a ) = g(a) \right\}$$

debe $K$ sea un subgrupo de $G$ ?
He intentado definir un nuevo mapa $h:G \rightarrow H$ como $h(a)=f(a)g(a)^{-1}$ y por según esta construcción, si $h$ es un homomorfismo obtenemos $K=ker \ H$ por lo que es un subgrupo de $G$ .

No veo cómo demostrar que $h(ab)=h(a)h(b)$ Lo que me hace preguntarme si estoy en la dirección correcta.

Answer 1

Creo que el método directo para demostrar que $K$ es un subgrupo de $G$ debería funcionar bastante bien.

Tenga en cuenta que $e_{G} \in K$ , como $f(e_{G}) = e_{H} = g(e_G)$

Por otro lado, si $a,b \in K$ entonces tenemos..: $f(ab) = f(a)f(b) = g(a)g(b) = g(ab) \implies ab \in K$

También si $a \in K$ entonces tenemos que $f(a^{-1}) = (f(a))^{-1} = (g(a))^{-1} = g(a^{-1}) \implies a^{-1} \in K$

Por lo tanto, como $K$ es un subconjunto de $G$ que contiene la identidad, la inversa de cada elemento y es cerrado wrt la operación asociativa tenemos que es subgrupo.