¿Es necesariamente un subconjunto cerrado?

Question

Dejemos que
$ f:X \rightarrow Y$ sea un mapa continuo y $c \in Y$ . Es $\{x \in X | f(x)=c\}$ necesariamente un subconjunto cerrado de $X$ ?

Intento:

Estaba pensando en una contradicción. ¿Puede ser un contraejemplo? $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ es continua en toda la recta real y y la imagen del conjunto $[0,\infty)$ es el conjunto $(0,1]$ . Así que hemos encontrado un conjunto cerrado, cuya imagen bajo una función continua no es cerrada(y tampoco abierta).

Answer 1

No encontrará un contraejemplo en el que $Y$ es la línea real. Esto se debe a que los puntos son cerrados en la línea real, y si $f$ es continua, entonces las imágenes inversas de conjuntos cerrados son cerradas. (Obsérvese que $\{ x \in X : f(x) = c \} = f^{-1} [ \{ c \} ]$ .)

En cambio, hay que considerar los espacios topológicos donde los puntos no son cerrados.

Un buen ejemplo sería $Y = \{ 0 , 1 \}$ con la topología indiscreta (trivial). Ahora dejemos que $X$ sea cualquier espacio que tenga un subconjunto no cerrado $A$ y considerar el mapeo $f : X \to Y$ definido por $$f(x) = \begin{cases} 0, &\text{if }x \notin A \\ 1, &\text{if }x \in A.\end{cases}$$ Que $Y$ se da la topología trivial significa que cualquier función $X \to Y$ es continua, y tomando $c = 1$ tenemos que $\{ x \in X : f(x) = c \} = A$ no está cerrado por decisión propia.

Answer 2

Si $Y$ es un $T_1$ -para que los conjuntos de solteros sean cerrados, entonces $\{x\in X:f(x)=c\}$ es sólo la imagen inversa bajo $f$ del conjunto cerrado $\{c\}$ en $Y$ por lo que por continuidad de $f$ se cierra en $X$ .

Si hay un $c\in Y$ tal que $\{c\}$ no está cerrado en $Y$ entonces $\{x\in X:f(x)=c\}$ no es necesario que se cierre en $X$ . Por ejemplo, dejemos que $Y=\{0,1\}$ y que el conjunto abierto de $Y$ sea $\varnothing, \{1\}$ y $\{0,1\}$ . ( $Y$ es el Espacio de Sierpinski .) Tenga en cuenta que $\{0\}$ no está abierto en $Y$ Así que $\{1\}$ no está cerrado. Definir $f:\Bbb R\to Y$ por

$$f(x)=\begin{cases}0,&\text{if }x\le 0\\1,&\text{if }x>0\end{cases}\;;$$

es fácil comprobar que $f$ es continua, pero $\{x\in\Bbb R:f(x)=1\}$ no está cerrado en $\Bbb R$ .