encontrar k y n si $(1+kx)^n=1-12x+60x^2......$

Question

Si $(1 + kx)^n = 1 - 12x + 60x^2 - . . .$ ¿cuáles son los valores de k y n?

aunque la respuesta es supuestamente k=-2 y n=6, he obtenido soluciones diferentes y me gustaría que alguien me indicara mis errores

Mis pasos:

$\binom n1(1)^{n-1}(kx)^1=-12$

que luego se convierte en $(n)(k)=12$

y $\binom n2(1)^{n-2}(kx)^2=60x^2$

que se convierte en $(0.5)(n^2-n)(k)=60$

claramente cuando se utiliza la sustitución debería estar recibiendo $n=-9 $

Me preguntaba si la clave de respuestas estaba mal o si realmente hay algún error que estoy cometiendo.

[ También me gustaría que me indicaran cómo y dónde he cometido el error ]

Answer 1

Su segunda ecuación debería ser $$\frac{n(n-1)}2k^2=60.$$ Dividiendo por $nk=-12$ da $$\frac{n-1}2k=-5$$ o $$nk-k=-10.$$ Las cosas deberían ser fáciles ahora.

Answer 2

Va por el buen camino, pero ha cometido algunos errores de cálculo en el trayecto. Los primeros coeficientes de $(1+kx)^n$ son $$(1+kx)^n=1+\binom n1 kx+\binom n2k^2x^2+\cdots$$ Por identificación obtenemos las relaciones $$\binom n1k=-12 \quad \text{and}\;\;\binom n2k^2=60.$$ o expandiendo los coeficientes (utilizando $\binom n2=\frac{n(n-1)}{2}$ ) $$nk=-12 \quad \text{and}\;\; n(n-1)k^2=120.$$ Desde $n(n-1)k^2=n^2k^2-nk^2$ obtenemos $nk^2=(-12)^2-120=24$ . y podemos deducir inmediatamente que $k=24/(-12)=-2$ Por lo tanto $n=6$ .

Answer 3

Solución alternativa en caso de que no estés familiarizado con el teorema del binomio.

$$(1+kx)^n = 1-12x+60x^2\cdots$$

Diferenciando con respecto a $x$

$$n(1+kx)^{n-1}k=-12+120x\cdots$$

Sustituyendo $x=0$

$$n(1)k=-12\implies nk=-12$$

Volver a diferenciar

$$n(n-1)(1+kx)^{n-2}k^2=120+\cdots$$

Sustituyendo $x=0$

$$n(n-1)k^2=120$$