Equivalencia unitaria de las representaciones del GNS

Question

Considere un unital $C^*$ -Álgebra $\mathfrak A$ y un estado $\omega$ en él. Deje que $\mathcal N := \{A\in\mathfrak A : \omega(A^*A)=0 \}$ . Construir un espacio de Hilbert $\mathcal H:= \overline{\mathfrak A /\mathcal N}$ con el producto interior definido por: $ \langle \psi_A,\psi_B \rangle \equiv \omega(A^*B) $ donde $\psi_A, \psi_B \in \mathcal H$ . Construir además una representación GNS $\pi:\mathfrak A \to \mathcal L(\mathcal H)$ definido por: $\pi(A)\psi_B\equiv\psi_{AB}.$ El estado de vacío se define como $\Omega := \psi_1$ donde $1 \in \mathfrak A$ es la unidad.

Dadas dos representaciones GNS de este tipo $(\mathcal H_i,\pi_i,\Omega_i)$ con $i=1,2$ de $\mathfrak A$ Quiero demostrar que el mapa $U: \mathcal H_1 \to \mathcal H_2$ definido por $U\pi_1(A)\Omega_1:=\pi_2(A)\Omega_2 \ \forall A \in \mathfrak A$ es unitario. Nótese que $U\pi_1(A)\Omega_1=\pi_2(A)\Omega_2$ es lo mismo que decir $U\psi^{(1)}_A = \psi^{(2)}_A$ donde $\psi^{(1)}_A \in \mathcal H_1$ y $\psi^{(2)}_A \in \mathcal H_2 \, .$

Si pudiera probar que $\psi^{(1)}_A = U^*\psi^{(2)}_A,$ mi trabajo está hecho. ¿Cómo lo hago?

¿Cómo demostrarías la equivalencia unitaria de estas representaciones?

Tenga la bondad de avisar.

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NOTA:

Enchufando $A=1$ en $U\psi^{(1)}_A = \psi^{(2)}_A$ implica que $\Omega_2 = U \Omega_1$ lo que a su vez implica de la condición original que $(U\pi_1(A)-\pi_2(A)U)\Omega_1=0 \Rightarrow U\pi_1(A)=\pi_2(A)U$ . Entonces mi pregunta se convierte en algo muy parecido a este . Sin embargo, hay una diferencia crucial. No asumo la irreductibilidad de las representaciones en ningún punto.

Answer 1

Que $U$ es lineal, isométrica y suryente, es trivial. La irreductibilidad no tiene nada que ver, pero nótese que se requiere que las dos representaciones del GNS satisfagan que $\pi_i(\mathfrak A)\Omega_i$ es denso en $\mathcal H_i$ .

La única cuestión no trivial es si $U$ está bien definida. Es decir, se quiere demostrar que si $\pi_1(A)\Omega_1=\pi_1(B)\Omega_1$ entonces $\pi_2(A)\Omega_2=\pi_2(B)\Omega_2$ . Esto requiere que las dos representaciones del GNS sean mínimo Es decir, que $\pi_i(\mathfrak A)\Omega_i$ es denso en $\mathcal H_i$ .

Tenemos, si $\pi_1(A)\Omega_1=\pi_1(B)\Omega_1$ , \begin{align} \|\pi_2(A)\Omega_2-\pi_2(B)\Omega_2\|^2&=\langle \pi_2(A)\Omega_2,\pi_2(A)\Omega_2\rangle+\pi_2(B)\Omega_2,\pi_2(B)\Omega_2\rangle-2\text{Re}\,\langle \pi_2(A)\Omega_2,\pi_2(B)\Omega_2\rangle\\ \ \\ &=\langle\pi_2(A^*A)\Omega_2,\Omega_2\rangle+\langle\pi_2(B^*B)\Omega_2,\Omega_2\rangle-2\text{Re}\,\langle\pi_2(B^*A)\Omega_2,\Omega_2\rangle\\ \ \\ &=\omega(A^*A)+\omega(B^*B)-2\text{Re}\,\omega(B^*A)\\ \ \\ &=\|\pi_1(A)\Omega_1-\pi_1(B)\Omega_1\|^2\\ \ \\ &=0. \end{align} Así que $\pi_2(A)\Omega_2=\pi_2(B)\Omega_2$ y así $U$ está bien definida.