Probar una desigualdad en el análisis real.

Question

Cómo demostrar que la siguiente desigualdad es cierta para todo $x\in (0,\infty)$ ? $$x10^{\frac{x}{2}}\ln{2.5}<5^x-2^x$$

Mi intento:

Dejemos que $a = \ln{2.5}$ entonces el lado izquierdo es \begin{align*} ax10^{x/2} & = axe^{\frac{x}{2}\ln{10}} \\ & = ax\left(1+\frac{x}{2}\ln{10} + \frac{1}{2!}\left(\frac{x}{2}\ln{10}\right)^{2}+\cdots \right) \\ \end{align*} Y, del mismo modo podemos ampliar el lado derecho utilizando la expansión en serie de la función exponencial pero al final no me sirvió de nada.

Answer 1

Su desigualdad dice $$ x \ln(5/2) < \left(\frac{5}{2}\right)^{x/2} - \left(\frac{2}{5}\right)^{x/2}$$ Ahora el lado derecho se puede escribir como $$ \exp\left( \frac{x}{2} \ln(5/2)\right) - \exp\left(-\frac{x}{2} \ln(5/2)\right) = 2 \sinh\left(\frac{x}{2} \ln(5/2)\right)$$ por lo que es un caso especial de $$ t < \sinh(t) $$ lo cual es cierto para todos los $t > 0$ . Obsérvese que los dos lados son iguales en $t=0$ , sus derivadas son iguales en $t=0$ y $$ \dfrac{d^2}{dt^2} t = 0 < \sinh(t) = \dfrac{d^2}{dt^2} \sinh(t) $$