La transformada de Fourier puede ser vista como una isometría en $L_2 (\mathbb{R})$

Question

Tenemos la siguiente definición de la transformada de Fourier $\mathcal{F} f$ de una función $f \in L_1(\mathbb{R})$: $(\mathcal{F}f)(y) := \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-ixy} dx , y\in \mathbb{R}$.

Además tenemos:

1) Para $y \in \mathbb{R}$ definimos la función $e_y:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$ como $e_y(x) := \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{ixy}$. Entonces $\{ e_k: k \in \mathbb{Z}$} es un sistema ortogonal en $L_2(-\pi, \pi)$.

2) $||\mathcal{F}f||_2^2 = \int_\mathbb{R} | \langle f, e_y \rangle |^2 dy$.

Ahora consideremos el espacio $L_2(-\pi, \pi)$ como un subespacio cerrado de $L_2(\mathbb{R})$ (haciendo que $f \in L_2(\mathbb{R})$ sea cero en $\mathbb{R}$ \ $(-\pi, \pi)$.

Sabemos que para $f \in L_2(-\pi, \pi)$ se cumple $||\mathcal{F}f||_2^2 = ||f||_2^2$.

Debo demostrar que para cada $n \in \mathbb{N}$ y $f \in L_2 (-n \pi, n\pi)$ se cumple la ecuación $||\mathcal{F}f||_2 = ||f||_2$. Para demostrar esto debo usar el isomorfismo isométrico entre $L_2 (-n \pi, n\pi)$ y $L_2 (\pi, \pi)$.

Además, necesitamos demostrar que $span \{L_2(-n \pi, n \pi): n \in \mathbb{N} \}$ es denso en $L_2({\mathbb{R}})$ y debemos utilizarlo para extender $\mathcal{F} $ por continuidad a un operador isométrico en $L_2(\mathbb{R})$

Estaría agradecido por cualquier consejo :-)

Answer 1

Un isomorfismo isométrico explícito entre $L_2(-\pi,\pi)$ y $L_2(-n\pi,n\pi)$ es $f(x)\mapsto f(x/n)/n$, que deberías poder verificar fácilmente.

Para ver que $\mathrm{span} \{L_2(-n\pi,n\pi):n\in\mathbb N\}$ es denso en $L_2(\mathbb R)$, nota que para cualquier $f\in L_2(\mathbb R)$ y $\epsilon>0$ tenemos algún $r>0$ tal que $$\int_{\mathbb R} |f(x)|^2dx - \int_{-r}^r |f(x)|^2dx<\epsilon$$ por lo tanto, si elegimos $n\geq r$ y dejamos $g(x)=\chi_{(-n,n)}(x)f(x)$ obtenemos $g\in L_2(-n\pi,n\pi)$ y $\|f-g\|_2<\epsilon$.