Convergencia absoluta cuando todo el girado de la serie converge

Question

La pregunta aquí podría ser la norma en algunos libros de texto. Deje $a_n, n\ge1$ ser una serie de los números reales. Es evidente que

• si $\displaystyle \sum_{n\ge 1} |a_n|<+\infty$, luego $\displaystyle \sum_{n\ge1} e^{2n\pi i t}a_n$ converge para todos los $0\le t< 1$.

¿Qué conversar acerca de la implicación? Es decir,

• Suponga $\displaystyle \sum_{n\ge1} e^{2n\pi i t}a_n$ converge para todos los $0\le t< 1$. ¿Esto implica $\displaystyle \sum_{n\ge 1} |a_n|<+\infty$?

Answer 1

Aquí está mi pensamiento según MPW's punto de vista, como un poder/series de Fourier.

(a). $\displaystyle \sum_{n\ge1} e^{2n\pi i t}a_n$ converge para todos los $0\le t< 1$.

La condición (a) implica que tenemos una función definida, decir $f(t)$.

(b). $\displaystyle \sum_{n\ge 1} |a_n|<+\infty$.

La condición (b) implica que la serie en (a) converge a $f$ absoluta y uniformemente.

De acuerdo a Wikipedia, existe alguna función, "cuya serie de Fourier converge pointwise, pero no de manera uniforme; véase Antoni Zygmund, Trigonométrica de la Serie, vol. 1, Capítulo 8, Teorema 1.13, p. 300." Esta debe ser una teoría contraejemplo.

Answer 2

Un explícitamente ejemplo se enumeran en la siguiente wikipedia página

Para cada una de las $n\ge 1$, y para cada una de las $2^{n-1}\le k< 2^n$, vamos a $\displaystyle a_k=\frac{(-1)^n}{n\cdot 2^n}$. Considerar la serie de $\displaystyle \sum_{k\ge 1}a_k z^k$.

• Esta serie converge (uniformemente) en el disco cerrado $|z|\le 1$.

• $\displaystyle\sum_{k\ge 1}|a_k|=\sum_{n\ge 1}\sum_{2^{n-1}\le k< 2^n}\frac{1}{n\cdot 2^n}=\sum_{n\ge 1}\frac{1}{2n}$ diverge.