Encuentra la relación en la que la perpendicular

Question

Encuentra la relación en la que la perpendicular de $(4,1)$ al segmento de línea que une los puntos $(2,-1)$ y $(6,1)$ divide el segmento.

Mi enfoque:

Ecuación de la línea que une los puntos $(2,-1)$ y $(6,1)$ está dada por: $$y-y_1=\frac {y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$$ $$y+1=\frac {2}{4} (x-2)$$ $$y+1=\frac {1}{2} (x-2)$$ $$2y+2=x-2$$ $$x-2y-4=0$$ .

Me quedé atascado aquí. Por favor, ayúdame a completar.

Answer 1

Dejemos que $A\equiv (2,-1),B\equiv (6,1), P\equiv (4,1)$ . Sea la perpendicular de $P$ intersecan la línea dada en $Q\equiv (h,k)$ , que divide la unión dada en la ración $BQ:QA=1:\lambda$ . Utilizando la fórmula de la proporción obtenemos $h,k$ Ahora, utiliza el hecho de que el producto de la pendiente de las rectas perpendiculares es $-1$ para encontrar $\lambda$ . Usando mi terminología

$h=\frac{6\lambda +2}{\lambda +1}$ y $k=\frac{\lambda -1}{\lambda+1}$ Ahora dejemos que la pendiente de $AB=m_1$ y la de $PQ=m_2$ Ahora resuelve $m_1.m_2=-1$ para $\lambda$ .

Answer 2

Tienes una línea $x-2y-4=0$ y puedes fijarlo en la forma $y=\frac{1}{2}x-2$ . La línea perpendicular tendrá una pendiente de $-\frac{1}{a}$ o en este caso $-2$ y pasará por $(4,1)$ . Por lo tanto:

$$1=4\times (-2)+b \implies b=9$$ Así que la línea perpendicular: $$y=-2x+9$$ Ahora vamos a encontrar el punto de intersección de estas dos líneas: $$-2x+9=\frac{1}{2}x-2$$ $$11=\frac{5}{2}x$$ $$x=\frac{22}{5}$$ $$y=(-2)\times \frac{22}{5}+9=\frac{1}{5}$$

La línea $y=\frac{1}{2}x-2$ será dividida por la perpendicular en el punto $(x,y)=(\frac{22}{5},\frac{1}{5})$

¿Sabes cómo seguir adelante?