Completar una matriz de correlación 3x3: dos coeficientes de los tres dados

Question

Me hicieron esta pregunta en una entrevista.

Digamos que tenemos una matriz de correlación de la forma
$$\begin{bmatrix}1&0.6&0.8\0.6&1&\gamma\0.8&\gamma&1\end{bmatrix}$$

Me pidieron que encontrara el valor de gamma, dada esta matriz de correlación.
Pensé que podría hacer algo con los valores propios, ya que todos deberían ser mayores o iguales a 0. (Matrix debería ser semidefinida positiva) - pero no creo que este enfoque arroje la respuesta. Me falta un truco.

¿Podría proporcionar una pista para resolver lo mismo?

Answer 1

Ya sabemos que $\gamma$ está acotado entre $[-1,1]$ La matriz de correlación debe ser semidefinida positiva y , por lo tanto, sus principales menores deben ser no negativos.

Así \begin{align} 1(1-\gamma^2)-0.6(0.6-0.8\gamma)+0.8(0.6\gamma-0.8) &\geq 0\ -\gamma^2+0.96\gamma \geq 0\ \implies \gamma(\gamma-0.96) \leq 0 \text{ and } -1 \leq \gamma \leq 1 \ \implies 0 \leq \gamma \leq 0.96 \end{align}