¿Demostración constructiva de Kronecker-Weber?

Question

Esta pregunta está motivada por mi intento de resolver Pruebas $2 ( \cos \frac{4\pi}{19} + \cos \frac{6\pi}{19}+\cos \frac{10\pi}{19} )$ es una raíz de $ \sqrt{ 4+ \sqrt{ 4 + \sqrt{ 4-x}}}=x$

Consideremos los números expresables como sumas exponenciales $$\sum_k a_k \exp(2 i \pi \theta_k),$$ con $a_k$ , $\theta_k$ una lista finita de racionales.

Estos números son algebraicos y satisfacen algún polinomio cuyo grupo de Galois es abeliano. El teorema de Kronecker-Weber dice que lo contrario también es cierto.

Dado un polinomio abeliano (especialmente cuadrático o cúbico), ¿cómo podemos resolverlo en términos de una de estas sumas?

Básicamente estoy buscando una demostración del teorema de Kronecker-Weber que sea lo suficientemente constructiva como para que pueda calcular con ella.

Answer 1

$\def\QQ{\mathbb{Q}}$ Como dice user8268, para las cuadráticas basta con las sumas de Gauss. Permítanme que me asegure de que entienden este comentario: Sea $K = \QQ(\sqrt{D})$ . Para simplificar, haré el caso el $D$ es un primo $p$ que es $1 \mod 4$ y dejarle que haga los ajustes necesarios en el caso general. Sea $\zeta$ sea una primitiva $p$ -raíz de la unidad y que $\left( \frac{k}{p} \right)$ sea el Símbolo de Legendre . Establecer $g = \sum_{k=0}^{p-1} \left( \frac{k}{p} \right) \zeta^k$ . Entonces $g^2 = p$ . Esto demuestra que $K$ es un subcampo de $\mathbb{Q}(\zeta)$ .

Si $D$ no es primo, o no $1 \mod 4$ se pueden multiplicar entre sí las fórmulas para sus factores primos, o se puede utilizar la fórmula Símbolo de Kronecker que lo hará todo por ti de un plumazo.

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Veamos ahora los cúbicos. Sean las raíces de tu cúbico $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ con el grupo de Galois (abeliano) actuando cíclicamente. Sea $K$ sea $\mathbb{Q}(\theta_1)$ debido a la supuesta estructura de Galois, $\theta_2$ y $\theta_3$ también están en $K$ . Sea $L = K(\omega)$ donde $\omega$ es una raíz tercera primitiva de la unidad.

Entonces $L/\QQ(\omega)$ es un Ampliación Kummer : $L = \QQ(\omega)(\beta^{1/3})$ . Existe una fórmula casi explícita para $\beta$ : Tenemos $\beta = (\theta_1 + \omega \theta_2 + \omega^2 \theta_3)^3$ . (Ejercicio: Comprueba que $\beta$ se fija permutando cíclicamente el $\theta$ y, por tanto, se encuentra en $\QQ(\omega)$ .) Obsérvese que, si se amplía, se obtiene una expresión para $\beta$ como varios polinomios cíclicamente simétricos en el $\theta$ 's times powers of $\omega$ . El anillo de polinomios cíclicamente simétricos en tres variables está generado por las funciones simétricas elementales, que son los coeficientes del polinomio mínimo de $\theta_1$ y por el discriminante $(\theta_1-\theta_2)(\theta_2-\theta_3)(\theta_3-\theta_1)$ así que, si conoces estas cantidades, puedes calcular $\beta$ .

Digo "casi" porque esta cantidad podría ser $0$ si tienes mala suerte. En ese caso, sustituya $\theta_1$ por un elemento primitivo diferente e intentarlo de nuevo. A partir de ahora, asumiré que has encontrado un $\beta$ que funciona. Además, podemos multiplicar $\beta$ por cubos de elementos en $\mathbb{Q}(\omega)$ sin cambiar el hecho de que $L = \QQ(\omega)(\beta^{1/3})$ . Aprovechamos esta libertad para suponer que cada primo divide a $\beta$ con multiplicidad entre $0$ y $2$ . (Recordemos que $\mathbb{Z}[\omega]$ es un UFD). Así que $$\beta = \epsilon \sqrt{-3}^k \prod_{p_i \equiv 1 \mod 3} \pi_i^{a_i} \overline{\pi_i}^{\overline{a}_i} \prod_{q_i \equiv 2 \mod 3} q_i^{b_i}$$ donde $\epsilon$ es una unidad, $p_i$ y $q_i$ son primos de $\mathbb{Q}$ la factorización en primos de $p_i$ en $\mathbb{Z}[\omega]$ es $\pi_i \overline{\pi_i}$ y tenemos $0 \leq k, \ a_i,\ \overline{a_i}, \ b_i \leq 3$ .

Sea bar la simetría que intercambia $\omega$ y $\omega^{-1}$ que preserva el $\theta_i$ 's. (Esto consiste en la notación $(\pi, \overline{\pi})$ introducido anteriormente). Sea $N = \beta \overline{\beta}$ . Observe que $N = M^3$ donde $M = \sum \theta_i^2 - \sum_{i<j} \theta_i \theta_j$ . Así que $M$ es racional, y se podría extraer $M$ directamente a partir del polinomio mínimo de $\theta$ .

Así que vemos que $\beta \overline{\beta} = M^3$ y así $$(3)^{2k} \prod_{p_i \equiv 1 \mod 3} p_i^{a_i + \overline{a_i}} \prod_{q_i \equiv 2 \mod 3} q_i^{2 b_i}$$ es un cubo. Junto con el hecho de que se supone que los exponentes están entre $0$ y $2$ vemos que $k$ y $b_i$ son cero y que $(a_i, \overline{a_i})$ son $(0,0)$ , $(1,2)$ o $(2,1)$ . Así que $\beta$ debe ser de la forma $$\epsilon \prod \pi_i \overline{\pi_i}^2$$ donde $\epsilon$ es una unidad y puede que hayamos cambiado los nombres de $\pi_i$ y $\overline{\pi}_i$ en algunos lugares. Podemos extraer los primos $p_i$ que se produce arriba factorizando $M$ es un cálculo bastante razonable. Para saber exactamente qué unidad obtenemos y averiguar cuál de los dos factores de $p_i$ se pone al cuadrado, creo que honestamente necesitas trabajar en los campos de extensión. Teóricamente, sin embargo, todo lo que he dicho es constructivo.

Este es un buen lugar para hacer una pausa.

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Nuestro objetivo temporal es demostrar que $\beta^{1/3}$ está en una extensión ciclotómica. (Igual que antes queríamos demostrar que $\sqrt{D}$ fue en una extensión ciclotómica, pero esta vez tendremos que trabajar más después). Me limitaré al caso de que $\beta = \pi \overline{\pi}^2$ , al igual que antes me limité al caso de que $D$ era un primo que $1$ modulo $4$ . También quiero suponer que $\pi \equiv 1 \mod 3$ esto te dice cuál de los seis generadores del ideal $(\pi)$ Debería centrarme en. (De forma análoga, utilicé el $p$ no $-p$ en el caso cuadrático). Eliminar estas restricciones es un trabajo adicional, pero no requiere demasiados conocimientos nuevos.

Sea $\zeta$ ser un $p$ -enésima raíz de la unidad. Sea $\chi: (\mathbb{Z}/p)^* \to \{ 1, \omega, \omega^2 \}$ sea un carácter multiplicativo, y extenderlo a $\mathbb{Z}/p$ por $\chi(0)=0$ . Defina $$\gamma = \sum_{k=0}^{p-1} \chi(k) \zeta^k.$$ No es demasiado difícil demostrar que $\gamma^3$ se fija mediante $\mathrm{Gal}(\QQ(\omega, \zeta)/\QQ(\zeta)$ Así que $\gamma$ está en $\QQ(\omega)$ .

La relación de Stickelberger establece que el ideal $(\gamma^3)$ es igual al ideal $(\pi \overline{\pi}^2)$ después de cambiar posiblemente $\pi$ y $\overline{\pi}$ . Creo que la declaración correcta, si elijo $\pi$ ser $1 \mod 3$ , debe ser que $\gamma^3 = \pi \overline{\pi}^2$ , de nuevo hasta la conmutación anterior, pero no puedo encontrar una referencia para esto, así que estén prevenidos.

Por desgracia, el artículo de Wikipedia sobre el teorema de Stickelberger es muy abstracto. Prueba con estas notas de mi colega Kartik para una presentación más realista. Tenga en cuenta que su $(m, l)$ son mi $(3,p)$ .

Así que hasta aquí los detalles, $\gamma^3 = \pi \overline{\pi}^2 = \beta$ . Así que $\beta^{1/3}$ está en $\QQ(\omega, \zeta)$ . Esta es la parte difícil, ahora tenemos que limpiar los detalles.

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Para simplificar, supongamos que $\beta = (\theta_1 + \omega \theta_2 + \omega^2 \theta_3)$ en la nariz, sin que hayamos tenido que multiplicar ni dividir por ningún cubo. Así que $$\gamma = \beta^{1/3} = \theta_1+ \omega \theta_2 + \omega^2 \theta_3.$$

Que el bar actúe sobre $\QQ(\omega, \zeta)$ cambiando $\omega$ y $\omega^{-1}$ mientras se fija $\zeta$ . Entonces tenemos: $$\overline{\gamma} = \theta_1 + \omega^2 \theta_2 + \omega \theta_3.$$

Y, por supuesto, $$\mathrm{Tr}(\theta_1) = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3,$$ y éste es un número racional que puede calcularse a partir del polinomio mínimo de $\theta_1$ .

Resuelve estas ecuaciones lineales y obtendrás una expresión para $\theta_1$ como elemento explícito de $\QQ(\omega, \zeta)$ un campo ciclotómico.

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En resumen, hay que realizar un montón de operaciones con polinomios simétricos para averiguar qué $\beta$ es; necesitas hacer la factorización en $\mathbb{Z}[\omega]$ para encontrar el $\pi_i$ (aunque se puede convertir en un problema de factorización más pequeño en $\mathbb{Z}$ observando $M$ en su lugar), tienes que escribir un montón de sumas de Gauss y tienes que hacer algo de álgebra lineal final. La relación de Stickelberger parece salvarte en un punto milagroso.

Este mismo esquema le servirá para $\mathbb{Z}/4$ extensiones, y es un buen ejercicio para asegurarse de que entiende lo anterior. Una vez que pasas de ahí, la vida se vuelve mucho más difícil. Hay dos problemas (1) puede que no tengas factorización única pero, antes de eso (2) ¡los grupos unitarios de tus campos ciclotómicos se vuelven infinitos! Podría dejar el tratamiento de las unidades como un ejercicio mientras fuera sólo una lista finita para tachar, pero una vez que el grupo unitario se hace infinito, la cuestión me parece muy difícil. Hace unos años intenté hacer una demostración de fuerza bruta de Kronecker-Weber, y ahí me quedé atascado. Me gustaría escuchar alguna idea sobre cómo superar esto.

Answer 2

$\def\QQ{\mathbb{Q}}\def\ZZ{\mathbb{Z}}\def\Gal{\mathrm{Gal}}\def\char{\mathrm{char}}$ Quiero dejar constancia aquí de lo que se puede hacer con razonable facilidad siguiendo el planteamiento de mi respuesta de 2011. Tengo un plan para una entrada de blog mucho más amplia, pero es ambiciosa, así que puede que pasen varios meses hasta que llegue a escribirla. El objetivo de esta respuesta es proporcionar una prueba concreta de lo siguiente:

Supongamos que $K/\QQ$ es Galois con grupo Galois $\ZZ/p$ donde $p$ es un primo regular . Entonces $K$ está contenido en un campo ciclotómico.

En $p$ irregular parece obligar a utilizar métodos más avanzados, que impliquen grupos de ramificación o la Teorema de Stickelberger . Trabajar con potencias primos en lugar de primos sólo parece requerir más cuidado (especialmente $2^t$ ), no más herramientas de alta potencia, pero es mucho trabajo.

El caso $p=2$ se hizo en la otra respuesta, así que asumo que $p$ impar.

Sea $\zeta_p$ sea una primitiva $p$ -raíz de la unidad. Tenemos $\mathrm{Gal}(\QQ(\zeta_p)/\QQ) \cong (\ZZ/p)^{\ast}$ . Explícitamente, para $a \in (\ZZ/p)^{\ast}$ , dejemos que $\sigma_a$ sea el elemento de $\mathrm{Gal}(\QQ(\zeta_p)/\QQ)$ con $\sigma_a(\zeta_p) = \zeta_p^a$ .

Cálculos básicos

Sea $\beta \in \QQ(\zeta_p)$ . Nos gustaría saber si $\QQ(\zeta_p,\beta^{1/p})$ es Galois y abeliano sobre $\QQ$ .

Reclamación 1 $\QQ(\zeta_p,\beta^{1/p})$ es Galois y abeliano sobre $\QQ$ si y sólo si, para todo $a \in (\ZZ/p)^{\ast}$ tenemos $$\sigma_a(\beta) = \beta^a f_a^p \quad (\ast)$$ para algunos $f_a \in \QQ(\zeta_p)$ .

Prueba: Supongamos que $\QQ(\zeta_p,\beta^{1/p})$ es Galois y abeliano sobre $\QQ$ . Fijar $a$ en $(\ZZ/p)^{\ast}$ . Ascensor $\sigma_a$ a algún automorfismo $\sigma \in \Gal(\QQ(\zeta_p, \zeta^{1/p})/\QQ)$ y que $\tau \in \Gal(\QQ(\zeta_p, \zeta^{1/p})/\QQ(\zeta_p))$ sea el automorfismo $\tau(\beta^{1/p}) = \zeta_p \beta^{1/p}$ .

Desde $\sigma$ y $\tau$ conmutan, calculamos $$\tau(\sigma(\beta^{1/p}))= \sigma(\tau(\beta^{1/p})) = \sigma(\zeta_p \beta^{1/p}) = \zeta_p^a \sigma(\beta^{1/p}).$$ También tenemos $$\tau(\beta^{a/p}) = \zeta_p^a \beta^{a/p}.$$ Por lo tanto, $\sigma(\beta^{1/p})/\beta^{a/p}$ se fija mediante $\tau$ . Desde $\tau$ genera $\Gal(\QQ(\zeta_p, \beta^{1/p})/\QQ(\zeta_p))$ deducimos que $\sigma(\beta^{1/p})/\beta^{a/p} = f_a$ para algunos $f_a \in \QQ(\zeta_p)$ y, por tanto $\sigma_a(\beta) = \beta^a f_a^p$ .

A la inversa, supongamos que $(\ast)$ retenciones. Podemos invertir el argumento para demostrar que $\QQ(\zeta_p, \beta^{1/p})/\QQ(\zeta_p)$ es Galois y $$1 \to \Gal(\QQ(\zeta_p, \beta^{1/p})/\QQ(\zeta_p)) \to \Gal(\QQ(\zeta_p, \beta^{1/p})/\QQ) \to \Gal(\QQ(\zeta_p)/\QQ) \to 1$$ es una extensión central. Pero $\Gal(\QQ(\zeta_p)/\QQ)$ es cíclica, por lo que toda extensión central de la misma es abeliana. $\square$

Sea $\beta$ como en el caso anterior y que el ideal $(\beta)$ factor en primos como $(\beta) = \prod \pi^{v_{\pi}(\beta)}$ . Tenga en cuenta que, si $q$ es un primo de $\ZZ$ que es $1 \bmod p$ entonces $q$ se divide completamente en $\QQ(\zeta_p)$ . Fijar por conveniencia un $\pi_q$ tumbado $q$ para cada $q$ . Para cualquier primo $\pi$ de $\QQ(\zeta_p)$ , dejemos que $\mathrm{char}(\pi)$ sea la característica del campo de residuos.

Reclamación 2 Con la notación anterior, hay constantes $c_q$ uno por cada $q \equiv 1 \bmod p$ tal que $$v_{\pi}(\beta) \equiv \begin{cases} 0 \bmod p & \char(\pi) \not \equiv 1 \bmod p \\ c_q/a & \pi = \sigma_a(\pi_q),\ q \equiv 1 \bmod p \\ \end{cases}.$$

Prueba Si $\char(p) \not \equiv 1 \bmod p$ entonces hay alguna no-identidad $a$ con $\sigma_a(\pi) = \pi$ . (Aquí utilizamos $p \neq 2$ . Por lo demás, $p=2$ y $\pi = (2)$ es un contraejemplo). Entonces $(\ast)$ implica que $a v_{\pi}(\beta) \equiv v_{\pi}(\beta) \bmod p$ Así que $v_{\pi}(\beta) \equiv 0 \bmod p$ .

Si $\char(\pi) = q \equiv 1 \bmod p$ entonces $(\ast)$ implica que $v_{\pi_q}(\sigma_a^{-1}(\beta)) \equiv a^{-1} v_{\pi}(\beta) \bmod p$ Así que $v_{\sigma_a(\pi_q)}(\beta) \equiv a^{-1} v_{\pi}(\beta) \bmod p$ y el resultado es el siguiente. $\square$

Antes de proceder a la prueba, necesitamos un suministro de $\gamma$ para los que $\QQ(\gamma^{1/p},\zeta_p)$ es ciclotómica. Si $q$ es un primo que es $1 \bmod p$ entonces $\Gal(\QQ(\zeta_q, \zeta_p)/\QQ) = (\ZZ/q)^{\ast} \times (\ZZ/p)^{\times}$ se proyecta sobre $(\ZZ/p) \times (\ZZ/p)^{\times}$ por lo que hay alguna torre de campo $K \supset \QQ(\zeta_p) \supset \QQ$ con $\Gal(K/\QQ) \cong (\ZZ/p) \times (\ZZ/p)^{\times}$ . Por la teoría de Kummer, debemos tener $K = \QQ(\zeta_p, \gamma_q^{1/p})$ para algunos $\gamma_q$ . A partir de los cálculos anteriores, sabemos que $v_{\pi}(\gamma_q) \equiv 0 \bmod p$ si $\char(\pi) \not \equiv 1 \bmod p$ . Considerando la ramificación, o calculando con sumas de Gauss, también tenemos $v_{\pi}(\gamma_q) \equiv 0 \bmod p$ si $\char(\pi) = q' \neq q$ con $q' \equiv 1 \bmod p$ y hay algunos $b \in (\ZZ/p)^{\ast}$ tal que $v_{\sigma_a(\pi_q)}(\gamma_q) \equiv b/a \bmod p$ . Podemos (y lo hacemos) sustituir $\gamma_q$ por $\gamma_q^{1/b \bmod p}$ para que $v_{\sigma_a(\pi_q)}(\gamma_q) \equiv 1/a \bmod p$ . (La relación de Stickelberger ofrece una elección explícita de $\gamma_q$ con esta normalización).

La prueba Ahora, supongamos que $K/\QQ$ es Galois con grupo Galois $\ZZ/p$ . Entonces, por la teoría de Kummer, $K(\zeta_p) = \QQ(\beta^{1/p}, \zeta_p)$ para algunos $\beta$ y $\beta$ debe cumplir la condición $(\ast)$ .

Demostraremos que $\beta$ está en el grupo generado por $(\QQ(\zeta_p)^{\ast})^p$ por el $\gamma_q$ y por $\zeta_p$ .

Consideramos en primer lugar la factorización de $(\beta)$ en ideales primos: $(\beta) = \prod \pi^{v_{\pi}}$ que se describe en la reivindicación 2. Sustituimos $\beta$ por $\beta \prod \gamma_q^{-c_q}$ . Tras realizar esta sustitución, tenemos $v_{\pi}(\beta) \equiv 0 \bmod p$ para todos $\pi$ .

Así, podemos suponer que $(\beta)=I^p$ para algún ideal $I$ . Desde $p$ es regular, deducimos que $(\beta) = (f^p)$ para algunos $f \in \QQ(\zeta_p)$ . Sustitución de $\beta$ por $\beta f^{-p}$ no cambia la extensión, y ahora podemos suponer que $\beta$ es una unidad.

Abreviamos $\sigma_{-1}(x)$ por $\bar{x}$ ya que en cualquier incrustación compleja de $\QQ(\zeta_p)$ el elemento $\sigma_{-1}$ actúa por conjugación compleja. Tomando $a=-1$ en $(\ast)$ tenemos $$\beta \bar{\beta} = \theta^p$$ para algunos $\theta$ y, puesto que $\beta$ es una unidad, también lo es $\theta$ . Golpeando ambos lados de la ecuación con conjugación compleja, tenemos $\theta^p = \bar{\theta}^p$ .

Ahora, sustituye $\beta$ por $$\beta' := \beta\cdot (\theta^{(p-1)/2}/\beta)^p.$$ (Es la segunda vez que utilizamos ese $p \neq 2$ para hacer $(p-1)/2$ un número entero). Tenga en cuenta que $\beta'$ también es una unidad. Tenemos $$\beta' \bar{\beta'} = \frac{\beta \bar{\beta} \theta^{p(p-1)/2} \bar{\theta}^{p (p-1)/2}}{\beta^p \bar{\beta}^p} = \frac{\theta^p \theta^{p(p-1)/2} \theta^{p(p-1)/2}}{\theta^{p^2}} = 1.$$

Vemos que $\beta'$ es una unidad de $\QQ(\zeta_p)$ tal que $|\beta'|=1$ en cada incrustación compleja. Así, por a resultado de Kronecker , $\beta'$ es una raíz de unidad. Vemos que $\QQ(\beta'^{1/p}, \zeta_p)$ es ciclotómico, como prometí.