Limas de $a_n = i^n$

Question

Por cordialidad y para mi comprensión quiero preguntar:

Cuando tengo la secuencia $a_n = i^n$ Mientras que i es el número imaginario, i tendrá, por supuesto, cuatro puntos de acumulación: $-1,1,-i,i$ . Así que la secuencia no tiene límite. Pero, ¿tiene un límite superior/inferior? Mi opinión es que no, porque $\mathbb{C}$ no es un campo ordenado. Mi tutor no fue capaz de responderme a esa pregunta.

La parte real e imaginaria podría tener un lim sup/lim inf pero no estoy seguro de cómo probar estos.. Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Sí, se necesita un conjunto parcial ordenado para dar sentido a Suprema e Infima. Lo necesita para definir $\limsup$ y $\liminf$ .

Si considera la parte real note que $$\text{Re } a_n = \text{Re } i^n = \begin{cases}0 &\text{ if } n \text{ odd} \\ (-1)^{\frac n2 } &\text{ if } n \text{ even}\end{cases} $$ .

Entonces es fácil ver que $\limsup \text{Re } a_n = 1$ y $\liminf \text{Re } a_n = -1$ .

Analógicamente se obtiene $\limsup \text{Im } a_n = 1$ y $\liminf \text{Im } a_n = -1$ .