Acercándose al infinito

Question

Sé que esto ya se ha preguntado antes, pero todavía tengo algunas preguntas después de leer las respuestas. Anon explica cómo en una topología metrizable se puede decidir cuál de dos números $a , b$ están más cerca del infinito examinando los vecindarios conectados que contienen $+\infty$ , $a$ y $b$ y ver cuál se excluiría primero al reducir el vecindario. Para mí, esto no parece responder a la pregunta fundamental: ¿podemos acercarnos al infinito? Si podemos hacer una vecindad conectada $[0,\infty]$ ¿No supone eso que hay algún tipo de $ x \in {\rm I\!R}$ que está arbitrariamente cerca de $+\infty$ ¿se trata de un razonamiento de la suposición de que podemos acercarnos al infinito en primer lugar?

Tal vez me equivoque al pensar esto, pero si pudieras encontrar un camino (corto) conectado desde $[0,\infty]$ entonces no significa que podrías encontrar el mayor valor de ${\rm I\!R}$ ¿que es una contradicción? Creo que es muy posible que haya algunos fundamentos de la topología que se me escapan, por lo que agradecería que alguien me diera su opinión.

P.D. Como una especie de idea tardía, no sé por qué la idea de acercarse a $0$ me parece mucho más intuitivo cuando en realidad es el mismo concepto, invertido. Probablemente se trate de un problema de visualización que tengo con la comprensión de los límites en general.

Answer 1

Permítanme plantear una pregunta relacionada, pero más fácil: considere un camino corto conectado desde $0$ a $1$ en $\mathbb{R}$ (Creo que te refieres a un camino corto conectado desde $0$ a $\infty$ y no de $\mathbb{R}$ a $\infty$ ?). ¿Implica la existencia de tal camino un valor mayor de $[0, 1)$ ?

La imagen es la misma para la línea real extendida bajo una métrica apropiada, pero con $+\infty$ en lugar de $1$ . Topológicamente hablando, no hay manera de distinguir $\mathbb{R}\cup\{+\infty, -\infty\}$ de $[0, 1]$ . Así que, aunque el infinito tiene muchas connotaciones extrañas, hay un sentido preciso en el que (algunos) resultados sobre los números reales finitos pueden transferirse a resultados sobre la línea real extendida, incluyendo los puntos infinitos.