prueba de que $A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C $

Question

$ \triangle $ es una diferencia simétrica. Quiero probar que $A \triangle (B \triangle C) = (A \triangle B) \triangle C $ Parece que la regla de la unión. Traté de asumir que $ x \in Left $ y luego pasar a $ (...) $ así que $ x \in Right $ pero cuando uso la definición de $ \triangle $ Me sale algo así: $x \in A \land x \in B \land x \in C \land x \notin A \notin x \in B \notin x \in C \land (...) $ lo que no tiene sentido...

He visto enlace pero hay una forma algebraica bien explicada pero estoy tratando de hacer esto con la teoría de conjuntos normal (Con esto me refiero a algo como lo que presenté al principio).

Answer 1

Creo que la mejor manera de demostrarlo es utilizando funciones indicadoras:

$$1_{A\triangle (B\triangle C)} = 1_A + 1_{B\Delta C} - 1_{A\cap (B\Delta C)}=1_A+1_B+1_C-1_{B}1_{C}-1_{A}1_{B}-1_{A}1_{C}+1_{A}1_{B}1_{C}.$$

Escribe la expresión para $1_{(A\triangle B)\triangle C}$ y observar que ambos son iguales.

Answer 2

Supongo que te refieres a la diferencia simétrica, que viene dada por $X\ominus Y=(X\setminus Y) \cup (Y\setminus X)$ . Que a veces se simboliza como un signo de media división, es decir, un guión con un punto encima.

Supongamos: $$x\in[(A \ominus B)\ominus C)]$$ $$x\in[(A \ominus B)\ominus C)] \implies x\in [(A\ominus B)\setminus C] \lor x\in [C\setminus (A \ominus B)]$$ $$[x\in (A\ominus B)\land x\notin C] \lor [x\in C \land x\notin (A\ominus B)]$$

Caso 1:

$$[x\in (A\ominus B)\land x\notin C] \implies x\in (A\setminus B \lor B\setminus A) \land x\notin C$$ Subcaso 1: $$(x\in A \land x\notin B) \land x \notin C$$ Subcaso 2: $$(x\in B \land x \notin A) \land x \notin C$$

Del subcaso 1: $$x\in A \setminus B \land x\notin C$$ Del subcaso 2: $$x\in B\setminus A \land x\notin C$$

De los subcasos 1 y 2: $$x\in [(A\setminus B)\setminus C] \lor x\in [(B\setminus A)\setminus C]$$

Por lo tanto, desde el subcaso 1:

$$x\in [A\setminus(B\setminus C \lor C\setminus B)]\implies x\in [A\setminus (B\setminus C \cup C\setminus B)]$$

Aviso, si se hace alguna proposición $P$ es válido deducir $P\lor Q$ . Que es lo que hice. Dado $B \setminus C$ , deduje: $B\setminus C \lor C\setminus B$

Lo mismo ocurre con el subcaso 2:

$$x\in [B\setminus(A\setminus C \lor C\setminus A)]\implies x\in [B\setminus (A\setminus C \cup C\setminus A)]$$

Por lo tanto:

$$x \in [A\ominus (B\ominus C)]$$

Siguiendo técnicas similares se puede mostrar lo mismo para el caso 2:

Supongamos, $[x\in C \land x\notin (A\ominus B)]$ mostrar lo que he mostrado para el caso 1, entonces eso completará tu prueba del subconjunto de derecha a izquierda. Espero que puedas hacerlo.