Por qué se dice que la interesante propiedad de un integrante de dominio es que no tiene divisores de cero? Esto está dando poca atención a las otras propiedades, es decir, con 1, y de ser conmutativa.
La cuestión de los anillos sin 1, y su relevancia dentro de las matemáticas, ha sido discutido en varios lugares aquí y en MO: ver, por ejemplo, aquí, aquí,
y aquí.
Las diferencias entre conmutativa y no conmutativa anillos son inmensas. Esencialmente, en anillos conmutativos uno puede localizar, y en el no-conmutativa anillos uno no puede. Ver, por ejemplo, esta respuesta para una discusión más detallada de este.
La teoría de la integral dominios está basado en las tres propiedades (conmutatividad, la existencia de 1, cero-divisores).
Para dar un ejemplo concreto, la envolvente de álgebra de la Mentira de álgebra sobre un campo no tiene divisores de cero. Si la Mentira álgebra es de dimensión finita, es Noetherian. (Que uno ve esto porque el álgebra envolvente admite una filtración,
la filtración por grado, cuyos asociados graduada es un polinomio anillo --- así, en particular, un dominio --- en tantas variables como la dimensión de la Mentira de álgebra --- y así Noetherian para un finito dimensionales Mentira álgebra.)
Ahora vamos a suponer que nuestra Mentira álgebra $\mathfrak g$ es finito dimensionales y semi-simple sobre un campo de característica cero, decir $\mathbb C$ sólo para fijar ideas. El enveoping álgebra $U(\mathfrak g)$ contiene un aumento de ideal (el núcleo de la acción a la representación trivial, si te gusta), llame a $I$;
así, hay una breve secuencia exacta
$$0 \to I \to U(\mathfrak g) \to \mathbb C \to 0.$$
Ahora ya $\mathfrak g$ es semi-simple, cualquier extensión de la representación trivial $\mathbb C$, de por sí, se divide, y así es el nuevo trivial. Este
implica que $I^2 = I$.
Por otro lado, en un Noetherian integral de dominio (propiedad conmutativa!), uno tiene
el resultado que $I^2 = I$ implica $I = 0$. (Ver, por ejemplo, esta respuesta.)
Geométricamente, la idea es que si $A$ es un anillo conmutativo con uno y $I$ es un ideal tal que $I = I^2$, luego Espec $A/I$ es un cerrado subscheme de Espec $A$
el que no tiene no trivial de la dirección de las normales en Espec $A$. Si uno de los cuadros de esto, usted verá que la única manera en que esto parece posible, de manera intuitiva, es si Espec $A/I$ es abierto como cerrado en Espec $A$ (de lo contrario no serían algunas de las directrices que señala fuera de Espec $A/I$ en el resto de las Especificaciones $A$). Entonces, uno puede demostrar que si $A$ es además Noetherian, y si $I = I^2$, $A$ factores como producto $A/I \times B$, de modo Espec $A$ es distinto de la unión de Espec $A/I$ y Espec $B$. En particular, si $A$ es un dominio (por lo que la Especificación $A$ es irreductible, y tan conectado), se encuentra que cualquiera de las $I = A$ o $I = 0$.
El ejemplo de la envolvente de álgebra muestra que la no-conmutativa situación es completamente diferente: tenemos el anillo de $U(\mathfrak g)$ sin divisores de cero, y Noetherian, pero con un no-trivial idempotente ideal. Esto es (al menos para mí) muy difícil de interpretar geométricamente, y ciertamente sugiere que es razonable para separar el estudio de (propiedad conmutativa) son parte integrante de los dominios del estudio más general de (posiblemente no conmutativa) anillos sin divisores de cero.
Comentario Final: no tengo ninguna objeción a la utilización del término integral de dominio
o dominio de la no-conmutativa contexto. (Debo señalar que, al igual que muchos
conmutativa algebraists, frecuentemente me dicen y escriben de dominio a decir conmutativa de la integral de dominio.) Mi respuesta aquí no es la intención de defender cualquier posición en la terminología, pero sólo para explicar por qué la conmutativa contexto es muy diferente de la más general de no-conmutativa uno, y por lo tanto, ¿por qué tiene sentido hacer un estudio especial de la conmutativa caso.
Por cierto, mi respuesta podría razonablemente ser tomado en un sentido más general (al menos en parte) explicando por qué hemos de hacer un estudio especial de anillos conmutativos (el tema de álgebra conmutativa) en lugar de sólo el estudio de todos los anillos a la vez.