¿Por qué es una integral de dominio de un anillo conmutativo con unidad?

Question

Me estaba preguntando por qué la integral de dominio es necesario para ser conmutativa y tiene un elemento neutro multiplicativo.

Por ejemplo, los cuaterniones sería un no-conmutativa de la integral de dominio.

La propiedad interesante es que no tiene divisores de cero, así que ¿por qué lo requieren para ser conmutativa y tienen un $1$?

En otras palabras: ¿cuáles son las consecuencias de tener un uno contra uno en la investigación de los anillos sin divisores de cero?

Answer 1

Sí, la gente del estudio de los anillos sin la unidad (véase, por ejemplo, esta respuesta anterior para algunos comentarios de los anillos sin unidad). Así que la gente de estudio conmutativa-anillos-sin-unidad-que-tienen-no-cero-divisores.

Asimismo, las personas de estudio no conmutativo de los anillos (con o sin identidad), y el estudio de esos anillos que no tiene divisores de cero (aunque a partir de lo que puedo decir de mis colegas, divisores de cero no les preocupan tanto como nilpotent elementos, por lo que "la reducción de los anillos" parecen jugar un papel más importante). Así que, sin duda, la gente de estudio de las cosas que son "casi dominios excepto para una de las propiedades" (a nadie le cae la $1\neq 0$ condición, sin embargo, debido a que hace que sea muy fácil).

Un anillo con 1 que no es el cero del anillo y no tiene divisores de cero es llamado un dominio (al menos en Lam Primer Curso en no conmutativa de los Anillos). Están definidos en la página 3 del libro, así que muy temprano. Se puede obtener bastante peludo: si tienes un dominio, no puede ser embebido en una división de anillo (en contraste a la integral de dominio de caso, donde usted siempre tiene el campo de fracciones); esto fue probado por el Mal'cev, y se presenta en Lam Conferencias sobre Anillos y Módulos, sección 9B.

Así que realmente tu pregunta es más a lo largo de las líneas de "¿por Qué se distingue precisamente integral de los dominios, y no algunos de estos otros objetos?" Tal vez deberíamos estudiar los anillos sin divisores de cero, darles un nombre especial (por ejemplo, "wuzeds", "sin divisores de cero" y, a continuación, llame integral de los dominios "conmutativa wuzeds"?)

En parte, la historia. Anillo de la teoría nació de las ideas de Dedekind, y más tarde Noether y Artin, que surgió a partir de la teoría de los números consideraciones; todos ellos tuvo lugar en la conmutativa de configuración, y la mayoría de lo que Dedekind trabajó con que eran en realidad (una familia especial de ejemplos) de lo que ahora llamamos "integral dominios". Integral de dominios, simplemente fueron estudiados más. Además, una gran cantidad de anillo teoría originalmente surgió como una forma de intentar abstraer estas ideas, la generalización de los resultados; muchos de los resultados se basaron en los polinomios, matrices y otros objetos construidos a partir de los anillos, que las personas estaban familiarizados con en el caso de los enteros y otros prototipos. La mayoría de estos objetos se vuelven muy duro cuando se cambia a los anillos de sin identidad (por ejemplo, considerando que cada anillo con identidad puede ser incrustado en tanto su polinomio y su matriz de anillos en formas canónicas, anillos sin identidad, son mucho más difíciles de incrustar), o cuando se cambia a no conmutativa anillos.

Así que la gente fueron el estudio de casos especiales de la propiedad conmutativa de los anillos antes de que se estaban estudiando no conmutativa anillos. Eso es también por qué los llamamos los campos y de los giros de los campos (o la división de los anillos), y no "conmutativa de la división de los anillos" y "la división de los anillos". (Bourbaki ha intentado cambiar esto, por la definición de "campo" para ser un anillo con identidad, $1\neq 0$, en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso, es decir, lo que solemos llamar un anillo de división, y luego de hablar acerca de los campos y conmutativa campos; no se quedó fuera de Francia).

Answer 2

Por qué se dice que la interesante propiedad de un integrante de dominio es que no tiene divisores de cero? Esto está dando poca atención a las otras propiedades, es decir, con 1, y de ser conmutativa.

La cuestión de los anillos sin 1, y su relevancia dentro de las matemáticas, ha sido discutido en varios lugares aquí y en MO: ver, por ejemplo, aquí, aquí, y aquí.

Las diferencias entre conmutativa y no conmutativa anillos son inmensas. Esencialmente, en anillos conmutativos uno puede localizar, y en el no-conmutativa anillos uno no puede. Ver, por ejemplo, esta respuesta para una discusión más detallada de este.

La teoría de la integral dominios está basado en las tres propiedades (conmutatividad, la existencia de 1, cero-divisores).

Para dar un ejemplo concreto, la envolvente de álgebra de la Mentira de álgebra sobre un campo no tiene divisores de cero. Si la Mentira álgebra es de dimensión finita, es Noetherian. (Que uno ve esto porque el álgebra envolvente admite una filtración, la filtración por grado, cuyos asociados graduada es un polinomio anillo --- así, en particular, un dominio --- en tantas variables como la dimensión de la Mentira de álgebra --- y así Noetherian para un finito dimensionales Mentira álgebra.)

Ahora vamos a suponer que nuestra Mentira álgebra $\mathfrak g$ es finito dimensionales y semi-simple sobre un campo de característica cero, decir $\mathbb C$ sólo para fijar ideas. El enveoping álgebra $U(\mathfrak g)$ contiene un aumento de ideal (el núcleo de la acción a la representación trivial, si te gusta), llame a $I$; así, hay una breve secuencia exacta $$0 \to I \to U(\mathfrak g) \to \mathbb C \to 0.$$ Ahora ya $\mathfrak g$ es semi-simple, cualquier extensión de la representación trivial $\mathbb C$, de por sí, se divide, y así es el nuevo trivial. Este implica que $I^2 = I$.

Por otro lado, en un Noetherian integral de dominio (propiedad conmutativa!), uno tiene el resultado que $I^2 = I$ implica $I = 0$. (Ver, por ejemplo, esta respuesta.)

Geométricamente, la idea es que si $A$ es un anillo conmutativo con uno y $I$ es un ideal tal que $I = I^2$, luego Espec $A/I$ es un cerrado subscheme de Espec $A$ el que no tiene no trivial de la dirección de las normales en Espec $A$. Si uno de los cuadros de esto, usted verá que la única manera en que esto parece posible, de manera intuitiva, es si Espec $A/I$ es abierto como cerrado en Espec $A$ (de lo contrario no serían algunas de las directrices que señala fuera de Espec $A/I$ en el resto de las Especificaciones $A$). Entonces, uno puede demostrar que si $A$ es además Noetherian, y si $I = I^2$, $A$ factores como producto $A/I \times B$, de modo Espec $A$ es distinto de la unión de Espec $A/I$ y Espec $B$. En particular, si $A$ es un dominio (por lo que la Especificación $A$ es irreductible, y tan conectado), se encuentra que cualquiera de las $I = A$ o $I = 0$.

El ejemplo de la envolvente de álgebra muestra que la no-conmutativa situación es completamente diferente: tenemos el anillo de $U(\mathfrak g)$ sin divisores de cero, y Noetherian, pero con un no-trivial idempotente ideal. Esto es (al menos para mí) muy difícil de interpretar geométricamente, y ciertamente sugiere que es razonable para separar el estudio de (propiedad conmutativa) son parte integrante de los dominios del estudio más general de (posiblemente no conmutativa) anillos sin divisores de cero.

Comentario Final: no tengo ninguna objeción a la utilización del término integral de dominio o dominio de la no-conmutativa contexto. (Debo señalar que, al igual que muchos conmutativa algebraists, frecuentemente me dicen y escriben de dominio a decir conmutativa de la integral de dominio.) Mi respuesta aquí no es la intención de defender cualquier posición en la terminología, pero sólo para explicar por qué la conmutativa contexto es muy diferente de la más general de no-conmutativa uno, y por lo tanto, ¿por qué tiene sentido hacer un estudio especial de la conmutativa caso.

Por cierto, mi respuesta podría razonablemente ser tomado en un sentido más general (al menos en parte) explicando por qué hemos de hacer un estudio especial de anillos conmutativos (el tema de álgebra conmutativa) en lugar de sólo el estudio de todos los anillos a la vez.

Answer 3

De un general algebraicas perspectiva, el "punto" de la definición de integral de dominios es realmente para definir su fracción campos. Integral de los dominios son precisamente los (unital) subrings de (propiedad conmutativa) campos, así que en ese sentido el estudio de la integral de dominios es una extensión natural de el estudio de los campos. Esto es por qué los objetos básicos en, digamos, la teoría algebraica de números son ciertos integral de los dominios de subrings de los campos de número.

Desde la perspectiva de la teoría de números, el "punto" de la definición de integral de dominios es imponer un requisito obvio, en cualquier anillo con una buena teoría de la factorización: si $0$ puede tener un trivial de la factorización, entonces no va a haber problemas. De nuevo, es por eso que en teoría algebraica de números hacemos un estudio integral de los dominios.

Desde la perspectiva de la geometría algebraica, el punto de la definición de integral de dominios es como sigue. Asociado a cualquier agradable integral de dominio $R$ es un cierto espacio topológico, su espectro, y uno debe hablando a groso modo de pensar de los elementos de $R$ como funciones en este espacio $\text{Spec } R$. A continuación, el requisito de que $R$ es una parte integral de dominio se traduce en que requieren de una muy fuerte conectividad hipótesis en este espacio. Si $a, b \in R$ tal que $ab = 0$, entonces el conjunto de puntos en $\text{Spec } R$ tal que $a = 0$ y el conjunto de puntos en $\text{Spec } R$ tal que $b = 0$ son subconjuntos cerrados de $\text{Spec } R$ cuya unión es todo de $\text{Spec } R$, y bajo ciertas hipótesis sobre $R$ estos subconjuntos son correctos. Exigir que los $R$ no tiene divisores de cero es (de nuevo, bajo ciertas hipótesis), equivalente a la necesidad de que no es posible partición de $\text{Spec } R$ de esta manera. Esta es una muy buena forma de conectividad llamado irreductibilidad. Resulta que cualquier (nice) variedad es único, distinto de la unión de un número finito de irreductible de los componentes, así que es natural para el estudio de variedades irreducibles.

Como para que requieran las unidades, todos naturales de los ejemplos que puedo pensar de las unidades, y todos los naturales de los morfismos puedo pensar de conservarlos. La categoría de anillos sin unidades es complicado y, si bien tiene su lugar, yo no creo que sea apropiado para cualquiera de las aplicaciones que he descrito anteriormente.

Geométricamente, considere el siguiente ejemplo: si $X$ es un espacio topológico, entonces no es un anillo de $C(X)$ de funciones continuas $X \to \mathbb{R}$. Este anillo es conmutativo, y tiene una unidad, aunque no suele ser una parte integral de dominio. En cualquier caso, la idea aquí es que podemos estudiar propiedades topológicas de $X$ mediante el estudio de las propiedades algebraicas de la $C(X)$, y, en particular, cualquier mapa continuo $X \to Y$ da $\mathbb{R}$-álgebra homomorphism $C(Y) \to C(X)$ en la otra dirección por la precomposición. Este anillo homomorphism conserva automáticamente las unidades, por lo que es natural no se ignoran las unidades de aquí. Si $X$$Y$, compacto y Hausdorff, sucede algo asombroso: todos los $\mathbb{R}$-álgebra homomorphisms $C(Y) \to C(X)$ la preservación de las unidades de continuo mapas de $X \to Y$, por lo que uno realmente puede conseguir todas las propiedades topológicas de los compactos de Hausdorff espacios mediante conmutativa unital anillos.

Answer 4

Hay dos cosas que me vienen a la mente. Una cosa es que el polinomio anillo no es tan agradable. Por ejemplo, más de un campo, el número de raíces de un polinomio está limitada por el grado. Este no es el caso de más de un sesgo de campo (un anillo de satisfacción de todos los axiomas de campo, excepto para la conmutatividad). Por ejemplo, en los cuaterniones, la mirada inocente polinomio $x^2 + 1$ tiene una infinidad de raíces (cualquier puramente imaginaria de cuaterniones con longitud 1)!

Otra cosa que se complica es álgebra lineal inclinación-campos. Aquí hay que distinguir entre la izquierda acciones y las acciones correctas. También muy agradable y útil fórmulas que no se mantenga, por ejemplo, no es el caso que $tr(AB) = tr(BA)$ o que $\det(AB) = \det A \det B$.