Es un subconjunto aleatorio de $\mathbb{R}^2$ ¿conectados?

Question

Crear un conjunto $S$ añadiendo cada punto de $\mathbb{R}^2$ con un 50% de probabilidad (independientemente).

¿Cuál es la probabilidad de que $S$ ¿está conectado? (¿y es esto algo válido para preguntar?)

Answer 1

Para responder realmente a esta pregunta, tenemos que volver a los axiomas de Kolmogorov.

Los axiomas de Kolmogorov establecen que un espacio de probabilidad es un triple $(A, E, P)$ tal que

• $A$ es un conjunto
• $E$ es una colección de subconjuntos de $A$ - es decir, $E \subseteq \mathcal{P}(A)$
• $P$ es una función $P : E \to [0, 1]$

de manera que se cumplan las siguientes reglas:

$\sigma$ -axiomas del álgebra:

• $A \in E$
• Si $B, C \in E$ entonces $B \setminus C \in E$
• Si $B_i$ está en $E$ para todos $i \in \mathbb{N}$ entonces $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} B_i \in E$ .

Medir los axiomas:

• $P(\emptyset) = 0$
• Si $B_i$ está en $E$ para todos $i \in \mathbb{N}$ y si $B_i \cap B_j = \emptyset$ para todos $i \neq j$ entonces $P(\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} B_i) = \sum\limits_{i \in \mathbb{N}} P(B_i)$

Axioma de probabilidad:

• $P(A) = 1$

$A$ se conoce como "el espacio de la muestra". $E$ se conoce como "el conjunto de eventos", y los elementos de $E$ se llaman "eventos". Y $P$ es la función de probabilidad.

Digamos que queremos discutir el resultado de un experimento Bernoulli con $n$ variables indicadoras independientes e idénticamente distribuidas $X_1, ..., X_n$ , cada uno de los cuales toma valor $1$ con probabilidad $p$ y valor $0$ con probabilidad $1 - p$ .

El espacio de probabilidad obvio para esta discusión sería $A = \{0, 1\}^n$ el conjunto de todos los $n$ -tuplas de $0$ o $1$ . Tomaríamos $E = \mathcal{P}(A)$ y definir $P(S) = \sum\limits_{s \in S} \prod\limits_{i = 1}^n (1 - p) + (2p - 1) s_i$ . El $(1 - p) + (2p - 1) s_i$ término parece un poco raro, pero está diseñado para ser $p$ cuando $s_i = 1$ y $1 - p$ cuando $s_i = 0$ .

Es fácil comprobar que se trata de una distribución de probabilidad, que la variable aleatoria $X_i(s) = s_i$ toma valor $0$ con probabilidad $1 - p$ y valor $1$ con probabilidad $p$ y que el $X_i$ son mutuamente independientes.

¿Y si queremos hacer un número infinito de variables? Resulta que esto todavía es posible. No voy a entrar en los detalles exactos de cómo se hace, pero podemos llegar a un espacio de probabilidad construido a partir del espacio muestral $\{0, 1\}^S$ , donde $S$ es un conjunto posiblemente infinito, utilizando algo llamado "Borel $\sigma$ -álgebra" como nuestro espacio de eventos. Básicamente, sólo permitimos eventos que puedan ser "construidos" a partir de los eventos básicos de $X_i = 0$ y $X_i = 1$ utilizando los procesos de unión contable y complementación. Podemos entonces definir la medida de probabilidad $P$ utilizando el Criterio de Caratheodory y una medida externa. Todo esto es bastante técnico y requeriría un buen curso de teoría de la medida para introducirlo, pero se puede hacer perfectamente.

Así que es perfectamente válido tomar $|\mathbb{R}^2|$ diferentes variables aleatorias y formar una distribución de probabilidad a partir de ellas.

El problema aquí es que tendrías que demostrar que $\{s \in \{0, 1\}^{\mathbb{R}^2} \mid \{x \in \mathbb{R}^2 \mid s_x = 1\}$ está conectado $\}$ es en realidad parte del $\sigma$ -álgebra de eventos. Sólo los eventos pueden tener su probabilidad tomada.

Tengo la firme sospecha (pero aún no tengo una prueba) de que resultará que no es un conjunto medible. Por lo tanto, no podremos plantear la cuestión de su probabilidad.

Edición: si usamos el Borel $\sigma$ -álgebra, entonces sí tengo una prueba.

Teorema: Sea $s$ sea un conjunto en el Borel $\sigma$ -álgebra en $\{0, 1\}^B$ donde $B$ es un conjunto. Debe haber algún conjunto contable $V \subseteq B$ tal que para todo $y \in S$ para todos $z \in \{0, 1\}^B$ si para todo $v \in V$ , $y_v = z_v$ entonces $z \in S$ .

Prueba: procedemos por inducción a la definición de Borel $\sigma$ -Álgebra.

Caso base 1: $\{0, 1\}^B$ . Este es inmediato - simplemente tome $V = \emptyset$ .

Caso base 2: $\{x \in \{0, 1\}^B \mid x_b = q\}$ . Esta también es inmediata: toma $V = \{b\}$ .

Paso inductivo 1: Suponga que $C, D$ son conjuntos de Borel que satisfacen la propiedad. Elija $V_C$ y $V_D$ respectivamente. Entonces $V_C \cup V_D$ es contable y funciona para $C \setminus D$ .

Paso inductivo 2: Supongamos que $C_i$ es un conjunto de Borel que satisface la propiedad para todo $1 \leq i \leq n$ . Entonces, para cada $i$ , toma $V_{C_i}$ que funciona para $C_i$ . Entonces $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} V_{C_i}$ es contable y funciona para $\bigcup\limits_{i \in \mathbb{N}} C_i$ .

Así que la prueba está completa. Ahora considere que no hay tal $V$ que funciona para el conjunto de conjuntos conectados.

Answer 2

Adoptaré un enfoque un poco diferente a la respuesta de Mark, utilizando la invariancia de grupo en el espacio de medidas. Creo que es obvio que la probabilidad de producir un conjunto conectado debe ser $0$ Así que voy a argumentar que hay al menos una manera de hacer $\mathcal{P}(\mathbb R^2)$ un espacio de medidas de probabilidad tal que cada punto, independientemente, tiene la misma probabilidad de ser incluido. Por desgracia, este enfoque no aclara si la probabilidad de cada punto es del 50%.

Considere el grupo $\mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ de auto-biciones $\mathbb{R}^2 \to \mathbb R^2$ . Podemos formular el requisito de que la inclusión de cada punto sea igualmente probable e independiente de todos los demás puntos en términos de la acción de $\mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ en $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ y $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}^2))$ . Es decir, si $\phi$ es una biyección en $\mathbb{R}^2$ entonces $\phi$ actúa sobre $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ a través de $\phi(A) = \{\phi(x) \mid x \in A\}$ . Además, dado cualquier $\mathfrak{A} \subset \mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ podemos dejar que $\phi(\mathfrak{A}) = \{\phi(A) \mid A \in \mathfrak{A}\}$ .

¿Qué significa que cada punto tenga una probabilidad de inclusión igual e independiente? Significa que si tenemos un espacio de medidas de probabilidad $(\mathcal{P}(\mathbb{R}^2), \Sigma, \mu)$ , entonces para todos los $\mathfrak{A} \in \Sigma$ y cualquier biyección $\phi \in \mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ tenemos $\phi(\mathfrak{A}) \in \Sigma$ y $\mu(\phi(\mathfrak{A})) = \mu(\mathfrak{A})$ . Así que la pregunta es, si $\mathfrak{C} = \{A \subset \mathbb{R}^2 \mid A \text{ is connected}\}$ ¿hay un $\mathop{Sym}(\mathbb R^2)$ -medida de probabilidad invariable en $\mathcal P (\mathbb R^2)$ tal que $\mathfrak{C}$ ¿es medible? Si es así, ¿qué es $\mu(\mathfrak C)$ ?

Para cualquier cardinalidad $\kappa < 2^{2^{\aleph_0}}$ , el co- $\kappa$ medida de probabilidad sobre $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ es $\mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ -invariante (de hecho es $\mathop{Sym}(\mathcal P(\mathbb R^2))$ -invariante), por lo que tales medidas existen ciertamente.

Y hay tantos subconjuntos desconectados como conectados de $\mathbb{R}^2$ . Es decir, $$ |\mathfrak{C}| = |\mathcal{P}(\mathbb{R}^2) \setminus \mathfrak{C}| = |\mathcal P(\mathbb R)| = 2^{2^{\aleph_0}}. $$ En efecto, dejemos que $A \subset \mathbb{R}$ . Para todos estos $A$ podemos construir una conexión distinta $C_A \subset \mathbb{R}^2$ y desconectado $D_A \subset \mathbb R^2$ . Dado $A \subset \mathbb{R}$ , dejemos que $A'$ sea el subconjunto de $\mathbb R$ donde todos los elementos no negativos se desplazan hacia arriba en $1$ : $$ A' = (A \cap (-\infty, 0)) \cup ((A \cap [0, \infty)) + 1). $$ El $A \mapsto A'$ es un mapa inyectivo $\mathcal P(\mathbb R) \to \mathcal P(\mathbb R)$ . Ahora dejemos que $E_A = \{(x, y) \mid x \in A'\}$ . Entonces $C_A := E_A \cup \{(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})\}$ está desconectado, y $D_A := E_A \cup \{(x, y) \mid y=0\}$ está conectado.

Así que $\mathfrak{C}$ no es co- $\kappa$ para cualquier $\kappa < 2^{2^{\aleph_0}}$ . En particular, el co- $2^{\aleph_0}$ la medida de probabilidad es $\mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ -y encuentra que $\mu(\mathfrak{C}) = 0$ .

Desgraciadamente, dudo que si hay $\mathop{Sym}(\mathbb{R}^2)$ -medidas de probabilidad invariantes en $\mathcal{P}(\mathbb{R}^2)$ además de co- $\kappa$ medidas. Además, $\mathop{Sym}(\mathbb R^2)$ -La invariabilidad es un requisito ridículamente fuerte; por ejemplo, creo que la terminación de Lebesgue de un $\mathop{Sym}(X)$ -medida invariante en $\mathcal P (X)$ siempre tiene $\mathcal P(\mathcal P(X))$ como su $\sigma$ -Álgebra. Así que me parece muy bien la respuesta " $\mathfrak C$ no debería ser medible". Pero hay al menos una forma en que puede ser medible, y en esa forma su medida es $0$ .