Demostrar que si $T$ una transformación lineal normal e invertible, entonces $T^{-1}$ es normal.

Question

La pregunta es: demostrar que si $T$ una transformación lineal normal e invertible, entonces $T^{-1}$ es normal. Entonces tengo que encontrar la descomposición espectral de $T^{-1}$ . Al principio intenté demostrarlo por definición: $T$ es normal así que $TT^*=T^*T$ y marqué $S=T^{-1}$ . Así que $ST=TS=I$ .

Ahora he intentado demostrar que $SS^*=S^*S$ pero no tuvo éxito por ahora. Muchas gracias a los ayudantes.

Answer 1

Set $S=T^{-1}$ Entonces $S^*=(T^{-1})^*=(T^*)^{-1}$ .

Por lo tanto,

$$ SS^*=T^{-1}(T^*)^{-1}=(T^*T)^{-1} $$

¿Puedes seguir desde aquí?

Para la descomposición espectral, observe que si $\lambda$ es un valor propio de $T$ entonces $\lambda\ne0$ por lo que, para un vector propio $v$ en relación con $\lambda$ tenemos \begin{gather} Tv=\lambda v\\ STv=S(\lambda v)\\ v=\lambda Sv\\ Sv=\lambda^{-1}v \end{gather} y por lo tanto $E_T(\lambda)=E_S(\lambda^{-1})$ (indicando con $E_A(\lambda)$ el eigespacio de la matriz $A$ en relación con el valor propio $\lambda$ ). Así que debería ser fácil escribir la descomposición espectral de $S$ .