En la página 21, Dieudonné afirma que: "... si $f$ es una función real continua en un intervalo cerrado acotado $I$ hay una raíz más pequeña y una raíz más grande de la ecuación $f(x)=0$ en $I$ ."
No he podido convencerme de esta afirmación básica básico. Sigo pensando en contraejemplos que sólo tienen una raíz, o ninguna raíces, que califican. Por favor, aclárenme. Gracias de antemano.
Dejemos que $R \subset I$ sea el conjunto de raíces de $f$ . Entonces, porque $f$ es continua, $R$ está cerrado. Como $I$ limitado, $R$ es compacto. En particular, contiene su infimo (que será la raíz más pequeña de f en $I$ ) y supremum (raíz más grande).
¿Está claro?
Si $f$ no tiene raíces, entonces $R = \emptyset$ pero en ese caso conteniendo cualquier raíz de $f$ es una tautología. Si $f$ tiene una raíz, entonces la raíz es tanto la más pequeña como la más grande.
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