Número de posiciones diferentes de las torres en el tablero de ajedrez

Question

Sé que este tema se ha mencionado antes, pero no se ha dado una respuesta precisa.

Supongamos que tenemos que colocar $n$ torres en $n \times n$ tablero de ajedrez para que nadie ataque a otro. Cómo contar el número de formas diferentes de colocarlos hasta las rotaciones del tablero de ajedrez?

He estado probando el lema de Burnside pero no he obtenido resultados satisfactorios...

Answer 1

Parece que la primera solución completa a este tipo de problema fue elaborada por Édouard Lucas en la sección 128 de su libro de texto sobre teoría de números:

• Édouard Lucas, Teoría de los números (1891)

Obsérvese que considera soluciones diferentes hasta las rotaciones y reflexiones por lo que hay que modificar ligeramente el argumento. Aquí hay un esquema:

Se comienza con el $n!$ soluciones totales, y considerar el grupo de simetrías $\Gamma$ del tablero de ajedrez que le interesa. Estos son:

$\Gamma_1$ : Identidad

$\Gamma_2$ :Rotación por $\pi$ radianes.

$\Gamma_3$ :Rotación por $\pm \pi/2$ radianes.

Si denotamos $\sigma_n$ el número de soluciones diferentes (bajo esas simetrías), entonces $\sigma_n$ es el número de órbitas de $\Gamma$ en el conjunto de los $n!$ soluciones, por lo que ahora se puede aplicar el lema de Burnside.

Ahora, $\Gamma_1=n!$ y $\Gamma_2=(n/2)!2^{n/2}$ .

También $\Gamma_3=(2m)!/m!$ si $n=4m$ o $n=4m+1$ y $\Gamma_3=0$ de lo contrario.

A partir de aquí se puede contar fácilmente el número de soluciones.

Para una exposición más clara y moderna de la solución considerando también las reflexiones, puedes consultar:

• Robert W. Robinson, Disposiciones de recuento de los obispos (1976)