Ideales máximos en anillos de polinomios con coeficientes reales y complejos

Question

Me pidieron en la tarea que pensara en ideales máximos en anillos polinómicos $\mathbb{R}[x]$ y $\mathbb{C}[x]$ . Me he dado cuenta de que: $\forall c\in\mathbb{R},\;I_c : = \{p(x)\in\mathbb{R}[x]\;|\;p(c) = 0\}$ es un ideal (similar para $\mathbb{C}[x]$ ), ahora para demostrar que es máxima, tengo que demostrar: $$I_c\subset J\subsetneq A,\;J\text{ is an ideal}\Longrightarrow I_c = J$$ que me cuesta mostrar.

En segundo lugar, no sé cómo demostrar que todo Las ideas máximas tienen la forma de $I_c$ . Un poco de ayuda por favor. Gracias.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Los anillos polinómicos sobre campos gozan de un algoritmo de división (euclidiano), por lo que todo ideal es principal, generado por un elemento de grado mínimo (= gcd de todos los elementos). Pero para los ideales principales: contiene $\!\iff\!$ divide, es decir $\rm\: (a)\supseteq (b)\!\iff\! a\mid b.\:$ Por lo tanto, no tener ningún ideal propio que contenga (maximal) es equivalente a no tener ningún divisor propio (irreducible). Resumiendo, hemos deducido que, en un EPI, $\rm\ (f)\:$ es máxima $\rm\!\iff\! f\:$ es irreducible. Así, el problema se reduce a determinar los polinomios irreducibles en $\rm\,\Bbb R[x]\,$ y $\rm\,\Bbb C[x],\,$ lo cual es sencillo.

Answer 2

Una pista: Un ideal $I$ es maximal si y sólo si el cociente $\mathbb{R}[x]/I$ es un campo. Intenta encontrar algún $f:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}$ con núcleo $I_c$ .