Mostrar que la triangulación del triángulo equilátero no es regular

Question

Estoy tratando de demostrar que esta triangulación no es regular (a veces llamada no convexa, creo). Por regular quiero decir que existe una función convexa desde la triangulación hasta $\mathbb{R}$ tal que las caras del casco convexo inferior de los puntos elevados corresponden a los triángulos de la triangulación. Otra definición que he visto es que los dominios de linealidad de la función coinciden con las caras de la triangulación.

Sé que la forma de hacerlo sería intentar construir dicha función y probablemente encontrar desigualdades que den la vuelta al triángulo, llegando así a una contradicción. Sin embargo, no consigo averiguar la forma de hacerlo.

Para empezar, creo que es posible suponer que los tres vértices interiores están por debajo de los tres vértices exteriores, pero no estoy seguro de por qué. Si este es el caso, entonces puedo imaginar en mi cabeza cómo levantar los vértices exteriores causaría una de las caras para no ser lineal, pero estoy luchando para ver cómo hacer esta matemática. Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Podemos demostrar fácilmente que la triangulación dada no es Delaunay. La figura siguiente muestra que la circunferencia de $\triangle{DGH}$ contiene otro vértice C. Esto viola la condición de una triangulación de Delaunay, que es que ninguna circunferencia de un triángulo contiene el vértice de un triángulo diferente.

La equivalencia de una triangulación de Delaunay y un casco convexo en un paraboloide a través de una transformación de elevación se discute en la obra de Gallier y Quaintance Aspectos de la Geometría Convexa Poliedros, Programación Lineal, Envolventes, Diagramas de Voronoi, Triangulaciones de Delaunay en la sección 12.4, páginas 332-334. Esto lleva unas 2 páginas de exposición, así que no lo repetiré aquí. Los antecedentes, las referencias y los temas asociados se tratan en el mismo capítulo (Capítulo 12).

Existe la posibilidad, implícita en el título de la pregunta, de que el diagrama sea una triangulación de triángulos equiláteros anidados. Entonces los polígonos $CHGD, CEFH, EDGF$ serían trapezoides, y por tanto cíclicos. Sabemos que un círculo se eleva a una elipse (véase Gallier y Quaintance), y como una elipse es plana, los trapecios se elevarían a caras planas. La proyección de vuelta al plano no sería una triangulación y por lo tanto (por la definición dada en la pregunta) no sería regular.