Dejemos que $(X,Y)$ tienen una densidad conjunta $f(x,y) = \frac{1}{2}(1+x+y)$ para $0<x<1$ y $0<y<1$ .
Así, la densidad conjunta de $X$ y $U=X+Y$ es $f_{X,U}(x,u)=\frac{1}{2}(1+u)$ . Ahora es sencillo obtener el dominio de $X$ ya que se proporciona en la descripción del problema, pero para obtener el dominio de $U$ parece ser más complicado ya que hay que extraer el caso de $U<1$ y $U\geq 1$ . Necesito estos valores para obtener las densidades marginales, pero no estoy muy seguro de lo que tengo que hacer después de obtener $0<U-X<1$ .
0 votos
$0 < U - X < 1 \implies X < U < 1+X$ entonces $\because 0< X < 1 \therefore 0 < X < U < 1 + X < 1 + 1 = 2$ , que es justo lo que se intuye $0< U < 2$
0 votos
Gama de $U$ dependerá de $X$ valores. No se puede escribir $U$ valores independientes de X.
0 votos
@LeeDavidChungLin Entonces tengo los dos casos $U-1 < X < 1$ y $0<X<U$ . ¿Son correctos?
0 votos
El dominio de $U$ es $[0,2]$ Es cierto y es el entendimiento básico de la situación. El dominio conjunto de $f_{XU}$ es un paralelogramo sobre la diagonal con vértices $(x,u)=(0, 0),\, (0,1),\,(1,2),\,(1,0)$ . Sí como usted dijo para dividir en 2 casos, el marginal $f_U$ de $f_{XU}$ es $(1+u)/2 \cdot (u-0) = u(1+u)/2$ de $X<U$ y $(1+u)/2 \cdot (1- (u-1)) = (2-u)(1+u)/2$ de $U-1 < X < 1$ .
0 votos
El $(u-0)$ es la longitud del segmento horizontal en la mitad inferior del paralelogramo, desde los dos puntos extremos de $0 < X < U$ y el $(1 - (u-1))$ es la longitud del segmento horizontal en la mitad triangular superior del paralelogramo, desde los dos puntos extremos de $U-1 < X < 1$ .