El orden del grupo abeliano divide a lcm

Question

Quiero demostrar lo siguiente:

Dejemos que $G$ sea un grupo abeliano y sea $a_1,...,a_r \in G$ entonces $|a_1...a_r| $ (el orden de $a_1...a_r$ ) divide $ {\rm lcm}(|a_1|,...,|a_r|) $

Hasta ahora he demostrado que $(a_1,...,a_r)^{{\rm lcm}(|a_1|,...,|a_r|) } = 1 $ pero no creo que esto implique el resultado deseado.

¿Alguna ayuda? Gracias de antemano

Answer 1

Sí implica el resultado deseado. Tenga en cuenta que si $a^n = 1,$ entonces $|a|$ divide $n.$ Simplemente escriba $n = |a|q + r$ para $0 \leq r < |a|,$ y luego $$1 = a^n = a^{|a|q} \cdot a^r = 1^q \cdot a^r = a^r,$$ y así desde $r < |a|$ y $a^r = 1,$ tenemos $r= 0.$