Mostrando $(ab)^n=a^nb^n$ dado $(ab)^2=a^2b^2$ .

Question

Esto es parte del ejercicio 2.1.15 de la obra de F. M. Goodman "Álgebra: Abstracta y Concreta" .

Dejemos que $G$ sea un grupo. Supongamos que $(ab)^2=a^2b^2$ para todos $a, b\in G$ . Demostrar que $(ab)^n=a^nb^n$ para todos $a, b\in G$ , $n\in\mathbb{N}$ .

Mi intento:

Estoy usando la inducción en $n$ . Sea $a, b\in G$ .

Obviamente $(ab)^1=ab=a^1b^1$ por lo que el resultado es válido para $n=1$ .

Supongamos que $(ab)^r=a^rb^r$ para algunos $r\in\mathbb{N}$ .

Considere cuando $n=r+1$ Tenemos $$\begin{align} (ab)^{r+1}&=(ab)^rab \\ &=a^rb^rab \\ &=a^{r+1}a^{-1}b^rab, \end{align}$$ pero no sé a dónde ir desde aquí.

Answer 1

Desde $abab=aabb$ puedes conseguir $ba=ab$ Es decir $a,b$ conmutación. Ahora puedes reorganizar cualquier producto entre ellos.

Answer 2

Desde $abab = a^2 b^2$ entonces $ab = b^{-1} a b^2$ y $a^r b^r ab = a^r b^r b^{-1} a b^2 = a^r b^{r-1} a b^2$ y puede "desplazar" el $a$ sucesivamente para obtener la expresión $a^{r+1}b^{r+1}$

Answer 3

Siguiendo su planteamiento, puede intentar una factorización diferente:

$$ (ab)^{r+1}=(ab)(ab)^r=aba^rb^r. $$ A continuación, inserte un $bb^{-1}=e$ justo después de la primera $a$ en $a^r$ . Esto da una $abab$ a la que se puede aplicar la igualdad original. $$ aba^rb^r=aba(bb^{-1})a^{r-1}b^r=(abab)b^{-1}a^{r-1}b^r=(a^2b^2)b^{-1}a^{r-1}b^r=a^2ba^{r-1}b^r. $$ Continúe utilizando (una segunda) inducción para mover el $b$ más allá de la $a^r$ Un factor a la vez.