Esta es una práctica en mi clase de análisis real sobre la redacción de pruebas. ¿Es mi prueba completamente sólida? ¿Hay algo que mejorar en la lógica? Gracias de antemano
Problema: Encontrar la solución a $x=log_{10}(log_{10}(log_{10}(x)))$
Mi intento:
+Déjalo $f:(0,+\infty] \rightarrow R$ se define por: $$f(x)=x-log_{10}(x)$$ $$\Rightarrow f'(x)=1-\frac{1}{xln(10) }$$ Lo tenemos: $\left\{\begin{matrix} f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{ln10}\\ f'(100)>0\\ f'(0.1)<0 \end{matrix}\right.$
y $\lim_{x\rightarrow 0^+}{f(x)=+\infty}$
$\Rightarrow $ f(x) alcanza su mínimo local y global en $x=\frac{1}{ln10}$
$\Rightarrow $$ f(x)\Ngeq f(\frac{1}{ln10})>0 $ $ x\in(0,+\infty] $ $ (1)$
$$$$
+Déjalo $f_1(x)=f(x)$ y $(f_n)_{n\in N}:A_n\subset (0,+\infty] \rightarrow R$ definirse como:
$$f_n(x)=f_{n-1}(log_{10}(x))$$
Por (1), $n\in N,f_n(x)>0$ $ $ $x\in A_n$
Dejemos que $(g_n)_{n\in N}:A_n\rightarrow R$ definirse como: $g_n=x-log_{10}(log_{10}(log_{10}(...(x))))$ (n veces)
$\Rightarrow n\in N,g_n(x)=\sum_{i=1}^n{f_n(x)}>0$ $ $ $x\in(0,+\infty]$
$\Rightarrow g_3(x)=x-log_{10}(log_{10}(log_{10}(x)))$ >0 $ $ $x\in(0,+\infty]$
De ahí la ecuación $x=log_{10}(log_{10}(log_{10}(x)))$ no tiene solución
