No cont función de $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $f(x)$ racional $\iff f(x+1)$ irracional.

Question

Demostrar que no existen funciones continuas $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ con la propiedad:

Para cualquier $x \in \mathbb{R}$, $f(x)$ es un número racional si y sólo si $f(x+1)$ es un número irracional.

Fuente: 6 de la Universidad de Rochester Olimpíadas de Matemáticas.

Answer 1

Supongamos $f$ fueron de tal bestia. Entonces

$$g(x) = f(x+1) - f(x)$$

define una función continua en a $\mathbb{R}$ sólo toma irracional valores. Por el teorema del valor intermedio y la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$, $g$ debe ser constante, decir $g \equiv c$.

Deje $x_0 \in \mathbb{R}$$f(x_0) \in \mathbb{Q}$. A continuación,$f(x_0+2) - f(x_0) = 2c\in \mathbb{Q}$, contradiciendo la irracionalidad de la $c$.

Answer 2

$\Bbb Q$ es contable, pero $\Bbb R$ es incontable, por lo que nos puede mostrar fácilmente que $f$ es constante mediante el hecho de que $f$ es continua.