Dos preguntas básicas sobre $p-$ secuencias sumables

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Banach y $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ ser un $p-$ secuencia sumable en $X$ . Mis preguntas básicas son las siguientes:

1. Para cualquier $\epsilon>0$ ¿existe una secuencia $(\xi_{n})_{n=1}^{\infty}$ tal que $1\leq \xi_{n}\rightarrow \infty(n\rightarrow \infty)$ y $\|(\xi_{n}x_{n})_{n=1}^{\infty}\|_{p}\leq \|(x_{n})_{n=1}^{\infty}\|_{p}+\epsilon$ ;

2. ¿Existe una secuencia $(\xi_{n})_{n=1}^{\infty}$ tal que $1\leq \xi_{n}\rightarrow \infty(n\rightarrow \infty)$ , $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\xi_{n}^{p}}<\infty$ y $(\xi_{n}x_{n})_{n=1}^{\infty}$ es un $p-$ secuencia sumable en $X$ ?

Answer 1

Supongo que " $p$ -sumable" significa "absolutamente $p$ -sumable", es decir, $\sum \|x_n\|^p < \infty$ . Ya que todo lo que importa sobre $x_n$ es su norma, la cuestión se reduce al caso escalar.

1. Sí. Encuentra una secuencia estrictamente creciente de índices $(n_k)$ , $k \geq 1$ , de tal manera que $\sum_{i \geq n_k} \|x_i\|^p < \frac{\epsilon}{2^k}$ . Entonces defina $\xi_n = 1$ para $n < n_1$ y $\xi_n = (k+1)^{1/p}$ para $n_k \leq n < n_{k+1}$ . Ahora tenemos $$\sum_{n=1}^\infty \xi_n^p\|x_n\|^p = \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|^p + \sum_{k=1}^\infty\sum_{i=n_k}^\infty \|x_i\|^p \leq \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|^p + \epsilon,$$ que es lo suficientemente bueno.

2. No para el general $(x_n)$ . Por ejemplo, dejemos que $x_n = n^{-2/p} \in \mathbb{R}$ y que $(\xi_n)$ sea cualquier secuencia de números positivos. Para cada $n$ o bien tenemos $\xi_n^p \geq n$ o $\xi_n^p < n$ . En el primer caso, $\frac{\xi_n^p}{n^2} \geq \frac{1}{n}$ y en el segundo caso, $\frac{1}{\xi_n^p} > \frac{1}{n}$ . Así que $\sum\big(\frac{1}{\xi_n^p} + \frac{\xi_n^p}{n^2}\big) = \infty$ y por lo tanto $\sum\frac{1}{\xi_n^p} = \infty$ o $\sum \xi_n^p x_n^p = \sum\frac{\xi_n^p}{n^2} = \infty$ .