Por qué Suma $> 1/2$ al demostrar que el recíproco del primo diverge

Question

En mi libro de teoría de números dice que para demostrar que la suma de los recíprocos de los primos diverge, basta con demostrar que, para cualquier $j$ : $$\frac{1}{p_{j+1}}+\frac{1}{p_{j+2}}+\frac{1}{p_{j+3}}+\cdots>\frac{1}{2}$$

¿Por qué es suficiente demostrar que la suma anterior es mayor que $1/2$ ?

Answer 1

Si $\sum \frac{1}{p_i} = N$ converge, entonces por definición \begin{align*} \left|N - \sum_{i \leq n} \frac{1}{p_i}\right| = \sum_{i > n} \frac{1}{p_i} \to 0 \end{align*} como $n\to\infty$ .

Answer 2

Tomando "cualquier" para significar "cada", el punto sería que no importa lo grande que sea $j$ se pone, esa suma sigue siendo mayor que $1/2$ . Si la suma de los recíprocos converge, entonces después de un número finito de términos, la suma parcial es más que la suma total menos $0.001$ . Tome $j$ mayor que ese número de términos, y la cola de la serie sumaría entonces menos de $0.001$ . Y de forma similar para todos los demás números positivos pequeños. Pero si la cola nunca es menor que $1/2$ entonces no puede ser inferior a $0.001$ o cualquiera de esos pequeños números.

Por decirlo de otro modo, si la serie $\displaystyle\frac 1 {p_1}+\frac 1 {p_2}+ \frac 1 {p_3} + \cdots$ converge, entonces $$ \frac 1 {p_j} + \frac 1 {p_{j+1}} + \frac 1 {p_{j+2}} + \cdots \to 0\text{ as }j\to\infty. $$

Answer 3

La idea es que si la suma converge, después de un montón de términos se acerca a la suma final. Este parece ser el concepto que te falta. Como todos los términos son positivos, demostrando que la cola supera $\frac 12$ o cualquier otro número positivo demuestra que la suma no se acerca a ningún límite propuesto. En este caso, una prueba un poco más formal podría ayudar. Para demostrar que una suma converge a $L$ necesitamos demostrar que para cualquier $\epsilon \gt 0$ hay un $N$ para que la suma de al menos $N$ términos está dentro de $\epsilon$ de $L$ . Si la suma de la cola es siempre mayor que $\frac 12$ y te doy $\epsilon = \frac 14$ No se puede encontrar un $N$ que funciona.