Probabilidad condicionada por dos eventos

Question

Urna $1$ contiene $2$ bolas negras y $5$ bolas blancas. Urna $2$ contiene $3$ bolas negras y $2$ bolas blancas. Se elige una de las urnas al azar y se extrae una bola. La bola se introduce en la otra urna. De la urna en la que se depositó la bola se extrae una segunda bola. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas bolas sean blancas?

La solución es $23/70$ pero tengo $39/112$ .
Defino los siguientes eventos: $$\begin{align*} U_i &= \text{the $i$-th urn is selected}\\ W_i &= \text{a white ball is drawn at the $i$-th extraction}\\ \end{align*}$$ con $i=1,2$ .

Ahora, dejemos que $p$ sea la probabilidad buscada. Entonces $$p = P(W_1 \cap W_2) = P(W_1)P(W_2 \mid W_1).$$ Desde $U_1,U_2$ formar una partición puedo escribir $$P(W_1) = P(W_1 \mid U_1)P(U_1) + P(W_1 \mid U_2)P(U_2) = \frac12\left(\frac57 + \frac25\right) = \frac{39}{70},$$ y $$P(W_2 \mid W_1) = P(W_2 \mid W_1, U_1)P(U_1) + P(W_2 \mid W_1, U_2)P(U_2) = \frac12\left(\frac12 + \frac34\right) = \frac58.$$ Entonces $p = 39/112$ .

Estoy seguro de que el primer factor es correcto, así que supongo que el error está en el segundo.

Answer 1

En su solución, $W_1$ es realmente ambiguo $P(W_2|W_1)$ varía en función de la urna que haya elegido en primer lugar. Por lo tanto, no se puede escribir $P(W_1\text{ and }W_2) = P(W_1)P(W_2|W_1)$ .

En cambio, debe separar en los dos casos y sumar al final, para obtener una probabilidad de $$ \frac 12\left(\frac 57\cdot\frac 12+\frac 25\cdot\frac 34\right) = \frac{23}{70}. $$

Answer 2

Dividirlo en eventos disjuntos, y luego sumar sus probabilidades:

• $P(w_1,w_2)=\frac12\cdot\frac{5}{2+5}\cdot\frac{2+1}{3+2+1}=\frac{5}{28}$
• $P(w_2,w_1)=\frac12\cdot\frac{2}{3+2}\cdot\frac{5+1}{2+5+1}=\frac{3}{20}$

Por lo tanto, la probabilidad global es $\frac{5}{28}+\frac{3}{20}=\frac{23}{70}$