Equivalencia de lemas básicos sobre cosets

Question

Soy nuevo en la teoría de grupos, y estoy tratando de entender algunos conceptos básicos sobre los cosets.

Encontré los siguientes 5 lemas y su demostración fue dejada "como un ejercicio para el lector" pero no puedo descifrarlos.

Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ y $gH$ sea un coset de la izquierda con $g$ como su representante. Quiero demostrar que los siguientes 5 lemas son equivalentes:

1. $g_1H = g_2H$

2. $Hg_1^{-1} = Hg_2^{-1}$

3. $g_1H \subseteq g_2H$

4. $g_2 \in g_1H$

5. $g_1^{-1}g_2 \in H$

En particular, quiero demostrar que 1) implica 2) implica 3) implica 4) implica 5) implica 1) de nuevo.

No sé cómo pasar de 1) a 2). Pero es obvio que 1) implica 3), pero lo contrario no es obvio.

1) implica 4) ya que la identidad está en $H$ Así que $g_2 \in g_2H \in g_1H$

4) implica 5) por multiplicación por la izquierda con $g_1$ . De nuevo, el 5) al 1) me desconcierta ya que no puedo pasar del $\in$ a un $=$ .

¿Puede alguien sugerir enfoques para mostrar estas equivalencias?

Answer 1

3 $\Rightarrow$ 4 es inmediato por simetría de $3$ es más fácil mostrar $g_1 \in g_2 H$ pero como $e \in H$ entonces $g_1=g_1e \in g_1H \subseteq g_2H$ .

Tienes 4 $\Rightarrow$ 5

5 $\Rightarrow 1$ Si $g_1^{-1}g_2\in H$ entonces $g_1^{-1}g_2=h$ para algunos $h\in H$ . Entonces $g_2=g_1h$ por lo que al multiplicar por $H$ tenemos $g_2H=g_1hH=g_1H$ desde $hH=H$ para cualquier $h\in H$ .

Creo que ahora los tienes todos $1 \Leftrightarrow 2 \Rightarrow 3 \Rightarrow 4 \Rightarrow 5 \Rightarrow 1$