Si $F$ es continua y $\lim_{\left\|x\right\|\to\infty}F(x)=\infty$ , entonces todos los conjuntos de niveau $\left\{x:F(x)\le\alpha\right\}$ son compactos

Question

Dejemos que $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ sea continua y $$\lim_{\left\|x\right\|\to\infty}F(x)=\infty\tag{1}$$

Quiero demostrar que $$N(F,\alpha):=\left\{x\in\mathbb{R}^n:F(x)\le\alpha\right\}$$ es compacto. Obviamente, $$N(F,\alpha)=F^{-1}\left(\left(-\infty,\alpha\right]\right)$$ es cerrado (ya que es una preimagen de un conjunto cerrado). Para mí está intuitivamente claro que $(1)$ implica la acotación de $N(F,\alpha)$ pero, ¿cómo tenemos que concluirlo formalmente?

Answer 1

Por (1), dado $\alpha$ Hay un $R > 0$ tal que para todo $x \in \def\R{\mathbf R}\R^n\def\abs#1{\left|#1\right|}$ con $\abs x \ge R$ tenemos $F(x) \ge \alpha + 1$ . Por lo tanto, $N(F, \alpha) \subseteq B_R(0)$ como para todos $x \in \R^n$ con $F(x) \le \alpha$ debemos tener $\abs x \le R$ por la elección de $R$ .

Por lo tanto, $N(F, \alpha)$ está acotado.