Cálculo de la integral de $f(z)$

Question

Supongamos que $f(z)=1+z+z^2+z^3.$ Mi pregunta es

(1) ¿Cómo podemos calcular $\int\limits_{[-1, i]}f(z)dz$

(2) ¿Cómo vemos $|\int\limits_{[-1, i]}(f(z))^ndz|\leq k(\frac{4}{3\sqrt{3}})^n$ donde $k$ es una constante positiva.

Mi idea:

(1) ya que $z$ es un número complejo no podemos integrarlo como siempre.

(2) Para este problema, ¿podemos utilizar la parte (1) para demostrarlo?

No estoy seguro de cómo solucionar este problema.

Answer 1

(1) En este caso, se puede integrar exactamente de la misma manera...

$$ \int_{[-1,i]} (1+z+z^2+z^3) dz = \left[z+\frac 12 z^2 + \frac 13 z^3 + \frac 14 z^4\right]_{-1}^i= \frac 13 + \frac{2i}{3} $$

se obtiene la misma respuesta que si se calcula la integral de línea sobre la trayectoria $\gamma(t) = -1+t + ti, \quad t \in [0,1]$

$$ \int_{\Gamma} f(z) dz = \int_0^1 \gamma'(t) f(\gamma(t)) dt = \int_0^1 (1+i) f(-1+t+ti)dt = \frac 13 +\frac{2i}{3}. $$

[editar: comentarios sobre (2)]

La segunda parte de la pregunta parece más complicada. Lo que se puede establecer fácilmente es que \begin{align*} \int_{[-1,i]} (1+z+z^2+z^3)^n dz= &\int_{[-1,i]}(1+z)^n(1+z^2)^n \\ = & \int_0^1 (1+i) (t(1+i)^n)(2(1-t)-2t(1-t)i)^ndt\\ =& (1+i)^{n+1} 2^n \int_0^1 t^n(1-t)^n(1-ti)^n dt \end{align*}

y así, $$ \left| \int_{[-1,i]} f(z)^n dz \right|\leq \sqrt{2} (2\sqrt{2})^n \int_0^1 t^n (1-t)^n \left(\sqrt{1+t^2}\right)^n dt $$

Aunque es cierto que este límite es menor que $\left(\frac{4}{3 \sqrt{3}}\right)^n$ y el resultado es el siguiente, creo que debe haber algún truco sencillo para obtener el límite sugerido.