Prueba de una pregunta sobre la fórmula de la media de una función periódica

Question

Digamos que tengo una función $y\colon [0,\infty]\to\mathbb{R}$ y es periódica con $T$ . Si observamos el valor medio de esta función sobre la región de los agujeros podemos escribir:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^nf(x)\,dx=\frac{1}{T}\int_0^Tf(x)\,dx$$

Pero, ¿cómo se puede demostrar que eso es realmente cierto?

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Mi trabajo:

Cuando $f(x)$ es periódica con T, la integral del lado izquierdo es infinita. Así que podemos utilizar la regla de lhopitals:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\int_0^nf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{d}{dn}\left(\int_0^nf(x)\,dx\right)}{\frac{d}{dn}\left(n\right)}=\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1}=\lim_{n\to\infty}f(n)$$

Así que, tenemos:

$$\lim_{n\to\infty}f(n)=\frac{1}{T}\int_0^Tf(x)\,dx$$

Pero porque $f(x)$ es periódico $f(\infty)$ no tiene un "valor". Así que esto nos lleva a señalar.

Answer 1

Supongamos que $n=kT+n'$ , donde $0\le n'<T$ . Entonces:

$$\frac{1}{n}\int_0^n f(x)dx = \frac{k\int_0^T f(x)dx + \int_{kT}^{kT+n'}f(x)dx}{n}=\frac{k}{kT+n'}\int_0^T f(x)dx+\frac{1}{n}\int_{kT}^{kT+n'}f(x)dx$$

Como $n\to\infty$ tenemos $k\to \infty$ , mientras que $n'$ y $\int_{kT}^{kT+n'}f(x)dx$ permanecen acotados. Por lo tanto, en el límite, el primer sumando se acerca a $\frac{1}{T}\int_0^T f(x)dx$ mientras que el segundo sumando se aproxima a $0$ .

Answer 2

Dejemos que $m_n = \lfloor n/T \rfloor$ .

\begin{align} \frac{1}{n} \int_0^n f(x) \, dx &= \frac{1}{n} \int_0^{m_n T} f(x) \, dx + \frac{1}{n} \int_{m_n T}^n f(x) \, dx \\ &= \frac{m_n T}{n} \cdot \left(\frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx\right) + \frac{1}{n} \int_{m_n T}^n f(x) \, dx. \end{align}

El segundo término está limitado por $\frac{n-m_n T}{n} \sup_{x \in [0,T]} |f(x)| \le \frac{T}{n} \sup_{x \in [0,T]} |f(x)| \to 0$ como $n \to \infty$ . El primer término converge a $1$ el límite deseado, ya que $1 - \frac{T}{n} \le \frac{m_n T}{n} \le 1$ .