$x=\frac{1}{4}(t+e^{-t})$ , $y=e^{-\frac{t}{2}}$ , demuestre que $yy''(x)=(y'(x))^2\cdot \sqrt{1+(y'(x))^2}$ ¿Qué estoy haciendo mal?

Question

$x=\frac{1}{4}(t+e^{-t})$ , $y=e^{-\frac{t}{2}}$ , demuestre que $yy''(x)=(y'(x))^2\cdot \sqrt{1+(y'(x))^2}$

$$yy''(x)=e^{-\frac{t}{2}}\cdot \frac{(e^{-t/2})'' (\frac{1}{4}(t+e^{-t})'-(\frac{1}{4}(t+e^{-t}))''(e^{-t/2})'}{((e^{-t/2})')^3}$$

Derivando y simplificando, obtengo $$-\frac{1}{2}(\sqrt{e^t}+\frac{1}{\sqrt{e^t}}).$$ Que es un valor negativo, y no puede ser igual a lo que el ejercicio requiere.

Siento mucho no haber tecleado mis "cálculos provisionales": MathJax lleva mucho tiempo, es tarde y aún quedan deberes.

Lo que necesito saber, ¿hubo un error aritmético o entendí mal algo fundamentalmente? ¿He entendido mal el ejercicio? ¿Recibí el ¿se equivoca en alguna parte?

Gracias.

Answer 1

Mi error, he puesto $y$ en el denominador en lugar de $x$ .