Demostrar la existencia de un vector $x$ en el espacio de Hilbert $H$ que satisfaga el producto interior dado.

Question

Dado un espacio de Hilbert H y una base de Hilbert $[{e_n}] _{n=1}^{\infty}$ en $H$ (que es un sistema ortonormal completo).

Demostrar que existe un vector $x$ en $H$ tal que $<x, e_n > = \frac {1}{n}$ donde $<\cdot,\cdot>$ es el producto interior en $H$ .

¿Hay alguna diferencia entre un espacio de Hilbert y un espacio de producto interior? ¿Qué es el producto interior en H? Parece que estoy confundido ya que no está definido explícitamente. Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Nótese que, por la desigualdad de Parseval, cada elemento de $H$ se escribe de forma única como $x=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n$ . A la inversa, dada cualquier secuencia $(\lambda_n)\in\ell^2$ el vector $x=\sum_n\lambda_ne_n$ es un elemento bien definido de $H$ y satisface $\langle x,e_n\rangle=\lambda_n$ .

Lo que se busca se deduce directamente de lo anterior y de la observación de que la secuencia $(\frac{1}{n})$ es una secuencia en $\ell^2$ es decir $\sum_n\frac{1}{n^2}<\infty$ .

Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo bajo la norma inducida $\|\cdot\|:=\sqrt{\langle\cdot,\cdot\rangle}$ .