Oscilaciones no amortiguadas. ¿Por qué la solución es una combinación lineal de $\sin()$ y $\cos()$ ?

Question

$ma = mg - cx$ , donde $x(0) = x_0 = 0$ es la posición en la que no hay tensión en la cuerda. $dx/dt = v_0$ para $t = 0$ ; $v_0$ es una constante conocida.

El discriminante de la ecuación característica es negativo, tenemos raíces complejas y la solución es una combinación lineal de a $\sin()$ , $\cos()$ y una constante.

Pero, intuitivamente, todo el mundo sabe que $m$ se "balancearía hacia arriba y hacia abajo", lo que, creo, es un movimiento sinusoidal (¡intuitivamente!).

¿Cuál es el significado físico de una segunda función sinusoidal en la solución?

Motivación de la pregunta: Estoy tratando de calcular la tensión máxima en la cuerda, a través de la aceleración máxima. Sin embargo, me resulta inusualmente difícil calcular $\mathrm{max}(c_1\sin(\omega t) + c_2\cos(\omega t))$ .

Answer 1

La segunda solución está ahí para permitir tiempos de arranque y parada arbitrarios. Utilizando la norma identidades trigonométricas puede convertir una combinación lineal arbitraria de $\sin$ y $\cos$ en una función sinusoidal desplazada en el tiempo: $$A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)=R\cos(\omega(t-t_0)),$$ donde $R=\sqrt{A^2+B^2}$ y $\tan(\omega t_0)=A/B$ .

Answer 2

¿Cuál es el significado físico de una segunda función sinusoidal en la solución?

El significado físico es que dos se requieren condiciones iniciales para una solución única.

Ignorando la constante, la solución general para este sistema es:

$x(t) = x(0) \cos \omega t + \dfrac{v(0)}{\omega} \sin \omega t$

Donde $x(0), v(0)$ son la posición y la velocidad iniciales, respectivamente.

Por ejemplo, si la velocidad inicial es 0, entonces

$x(t) = x(0) \cos \omega t$

Por otro lado, si la posición inicial es cero,

$x(t) = \dfrac{v(0)}{\omega} \sin \omega t$

La frecuencia en el denominador puede parecer impar, pero vea que es correcta evaluando la derivada del tiempo en $t = 0$

$\dot x(t) = \dfrac{v(0)}{\omega} \omega \cos \omega t \rightarrow \dot x(0) = v(0)$

Otra forma de ver esto es, como señala Emilio Pisanty, que necesitamos tanto una magnitud como una fase de la sinusoide para describir completamente el movimiento.

Sin embargo, me parece inusualmente difícil calcular max(c1sin(t)+c2cos(t)).

Has tomado la derivada del tiempo y la has puesto a cero, ¿correcto?