Dejemos que $X,Y$ sean R.Vs independientes distribuidos uniformemente en $(0,1)$ . Sea $V=X+Y$ , $W=\frac{X}{Y}$ . Encontrar la distribución conjunta del vector aleatorio $(V,W)$ . Son $V,W$ ¿Independiente?
Así que lo que he intentado es: Dejar que $f_X:(0,1) -> \Bbb R $ , $f_Y:(0,1) -> \Bbb R$ sean funciones de densidad de $X,Y$ entonces $\forall_{t \in (0,1)} f_X(t)=f_Y(t)=1$ . Además, según la independencia, la densidad conjunta es $f_{(X,Y)}:(0,1)^2 -> \Bbb R$ , $f_{(X,Y)}(x,y)=f_X(x)f_Y(y) = 1 $ .
Ahora, quiero utilizar la regla de transformación, es decir, si $g_{(V,W)}$ es la función de densidad conjunta de $(V,W)$ Entonces: $g_{(V,W)}(z) = f_{(X,Y)}(h^{-1}(z))\cdot|\det(Dh^{-1}(z))|$ (siempre que $h\in C^1 $ )
En mi ejemplo, $h(x,y) = (x+y,\frac{x}{y})$ y a partir de ahí, tras los cálculos, obtenemos $h^{-1}(v,w) = (\frac{vw}{w+1},\frac{v}{w+1})$
Por lo tanto:
$ \frac{\partial h^{-1}}{\partial v}(v,w) = (\frac{w}{w+1},\frac{1}{w+1})$ , $ \frac{\partial h^{-1}}{\partial w}(v,w) = (\frac{v}{(1+w)^2},\frac{-v}{(1+w)^2})$
Y $|\det(Dh^{-1}(v,w))| = \frac{v}{(1+w)^2} $
De modo que obtenemos $g_{(V,W)}(v,w) = \frac{v}{(1+w)^2} $ (Ya que $f_{(X,Y)} \equiv 1$ )
Pero ahora tengo un problema. Necesito encontrar el rango de $V$ y $W$ . Así que pensé que debido a $V=X+Y, W=\frac{X}{Y}$ se deduce que $V\in(0,2)$ , $W\in(0,\infty)$ pero calculando $\int_{(0,2)\times(0,\infty)}g_{(V,W)}(v,w)d\lambda_2(v,w) = 2$ Así que tuve que cometer un error en alguna parte (estoy bastante seguro de que se produjo cuando estaba tratando de encontrar el rango).
Estaría encantado si alguien pudiera ayudar.
