Estimar la potencia de una serie

Question

Arreglar $n \in \mathbb{N}$ ¿es cierta la siguiente desigualdad $$\left (\sum_{k=1}^\infty a_k \right )^n \leq C \sum_{k=1}^\infty a_k^n $$ donde $C$ es una constante que depende únicamente de $n \in \mathbb{N}$ y $\{a_k\}\in l^n$ donde $a_k \in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Un contraejemplo directo. Tomemos $n=3$ y $$ a_k^3 = \begin{cases} 1 - \frac{\pi^4}{90} & k = 1 \\ \frac{1}{k^4} & k > 1 \end{cases}$$ El LHS se ve como $$ \left(\sqrt[3]{1 - \frac{\pi^4}{90}} + \sum_{k=2}^\infty k^{-4/3}\right)^3 = \left(\sqrt[3]{1 - \frac{\pi^4}{90}} -1 + \zeta(4/3)\right)^3 \approx 10.16077$$

Pero el lado derecho es igual a

$$ C\sum_{k=1}^\infty a_k^3 = C\left(-\frac{\pi^4}{90} + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}\right) =C\left(-\frac{\pi^4}{90} + \frac{\pi^4}{90}\right) = 0$$

Por lo tanto, ningún valor de $C$ puede hacer que esta desigualdad se cumpla en general para el $n=3$ caso. Y uno podría imaginar la construcción de contraejemplos similares en otros casos.