¿cómo sería una órbita planetaria si la gravedad tuviera una magnitud constante?

Question

Consideremos una partícula de masa unitaria que siempre experimenta una única magnitud unitaria hacia el origen. Esta es una fuerza central, pero no es una de las familiar, por ejemplo, la gravedad cuya magnitud es proporcional a la distancia inversa al cuadrado, o una fuerza de resorte cuya magnitud es proporcional a la distancia.

Así que la partícula siempre está acelerando hacia el origen con una magnitud de aceleración constante $1$ . Enunciada como una ecuación diferencial, trabajando en el $x$ - $y$ plano, la posición de la partícula en función del tiempo $\mathbf{p}(t){=}(x(t),y(t))$ se satisface: $$\ddot{\mathbf{p}}(t) = -\mathbf{p}(t)/\Vert\mathbf{p}(t)\Vert.$$ Si además se nos da la posición inicial $\mathbf{p}(0)$ y la velocidad $\mathbf{v}(0)=\dot{\mathbf{p}}(0)$ , entonces la función $\mathbf{p}$ está completamente determinado, y se puede calcular fácilmente numéricamente con cualquier precisión deseada, simplemente iterando lo siguiente con un paso de tiempo suficientemente pequeño $dt$ : \begin{align} \mathbf{a} &\leftarrow -\mathbf{p}/\Vert\mathbf{p}\Vert \\ \mathbf{v} &\leftarrow \mathbf{v} + \mathbf{a}\,\,dt \\ \mathbf{p} &\leftarrow \mathbf{p} + \mathbf{v}\,\,dt \end{align}

Mi pregunta: ¿es $\mathbf{p}(t)$ una función muy conocida, y ¿tiene una forma cerrada?

Por supuesto, un caso de esto es una simple órbita circular de radio y velocidad unitarios: $$\mathbf{p}(0){=}(1,0), \,\, \mathbf{v}(0){=}(0,1) \,\,\Rightarrow\,\, \mathbf{p}(t)=\left(\cos t,\sin t\right).$$ Más generalmente, una órbita circular uniforme de cualquier radio $r$ y la velocidad $\sqrt{r}$ se puede obtener: $$\mathbf{p}(0){=}(r,0), \,\, \mathbf{v}(0){=}(0,\sqrt{r}) \,\,\Rightarrow\,\, \mathbf{p}(t)=\left(r \cos\frac{t}{\sqrt{r}},r \sin\frac{t}{\sqrt{r}}\right).$$ y comprobamos que se cumple la ecuación deseada: \begin{align} \dot{\mathbf{p}}(t) &= \left(-\sqrt{r} \sin \frac{t}{\sqrt{r}}, \sqrt{r} \cos \frac{t}{\sqrt{r}}\right) \\ \ddot{\mathbf{p}}(t) &= \left(-\cos \frac{t}{\sqrt{r}}, -\sin\frac{t}{\sqrt{r}}\right) \\ &= -\mathbf{p}(t)/\Vert\mathbf{p}(t)\Vert. \end{align}

Otro caso sencillo es cuando la velocidad inicial es nula o colineal con la posición y el origen; en este caso se trata de un problema unidimensional y la posición puede verse fácilmente como una simple función cuadrática a trozos del tiempo.

¿Pero qué pasa si las condiciones iniciales no están tan bien alineadas?

Para hacerse una idea de las formas posibles, He hecho algunos gráficos, utilizando gnuplot, de las simulaciones utilizando el algoritmo de evolución simple que he descrito antes, con $dt = 1/10000$ grado $\approx .00000175$ .

La figura 1 muestra cinco estados iniciales diferentes, cada uno de ellos evolucionado a partir de $t{=}0$ a $t{=}2 \pi$ : $\,\,\mathbf{p}(0){=}(1,0)$ , $\mathbf{v}(0){=}(0,v_{0 y})$ para $v_{0 y}{=}0.5,1,1.5,2,2.5$ .

La figura 2 muestra la que tiene $\mathbf{v}(0){=}(0,2)$ evolucionó más allá, a $t{=}20\pi$ .

La figura 3 muestra que evolucionó aún más, hasta $t{=}60\pi$ .

ACLARACIÓN: En definitiva, me interesa encontrar la forma más sencilla de expresar $\mathbf{p}$ en función de $t$ . Es decir, realmente quiero saber "cómo es esta función" en lugar de "cómo es la curva". Otras parametrizaciones de la curva, y la intuición sobre la forma de la curva, son de interés sólo si ayudan a conducir a esta respuesta.

ACTUALIZACIÓN 2015/07/02:
Parece un hipotrocoide espirógrafo, ¿verdad? http://mathworld.wolfram.com/Spirograph.html .

Explorando esta posibilidad, Encontré por búsqueda binaria una velocidad inicial (0,1.662656) (probablemente exacta a sólo 4 decimales o algo así) que da una órbita cerrada en forma de flor de 7 pétalos, y luego comparó ese resultado sim con la hipotrocoide de 7 pétalos con los mismos radios mínimo y máximo; véase la figura 4.

Conclusión: Está muy cerca, pero no es un hipotrocoide. Se mueve demasiado rápido en las partes rápidas y demasiado lento en las partes lentas, y se mantiene un poco demasiado cerca del origen durante las partes intermedias.

Answer 1

Esta es una buena pregunta, y no tengo una respuesta completa para usted, pero tal vez esto ayude un poco. Para las fuerzas conservativas, generalmente es conveniente definir el potencial escalar $V$ . La fuerza satisfará $\vec{F} = \vec{\nabla}V$ y su potencial $V = r$ (sí, el sistema es conservador). Como la energía cinética + potencial es constante, y $V$ no está acotado arriba, esto significa que la partícula siempre estará en una órbita acotada alrededor del cuerpo.

Las órbitas que has encontrado están acotadas, pero no cerradas (sobre sí mismas), lo que da lugar a la trayectoria en forma de flor. Sé que sólo se obtienen órbitas cerradas para los potenciales que son $\tfrac 1r$ (como la nuestra), y $\tfrac 1{r^2}$ (donde la fuerza va como $\tfrac{1}{r^3} \large)$ pero nunca entendí muy bien por qué (el espacio-fase aparentemente).

Answer 2

Considere una órbita $$\gamma: \quad t\mapsto z(t)=r(t)e^{i\phi(t)}$$ de dicha partícula. Nos interesa la representación polar $$\phi\mapsto r(\phi)\tag{1}$$ de la curva resultante $\hat\gamma\subset {\mathbb C}$ . Denotando la diferenciación con respecto a $t$ por un $\cdot$ y la diferenciación con respecto a $\phi$ por un $'$ tenemos $\dot r=r'\>\dot\phi$ .

La energía cinética de la partícula (de masa $1$ ) viene dada por $$T={1\over2}(\dot r^2+ r^2\dot\phi^2)={1\over2}(r'^2+r^2)\dot\phi^2\ ,$$ y su energía potencial simplemente por $V(z)=r$ . De ello se desprende que $$E={1\over2}(r'^2+r^2)\dot\phi^2 + r\tag{2}$$ es constante a lo largo de $\gamma$ . Una segunda invariante es el momento angular $$L=r^2\>\dot\phi\ ,$$ para poder eliminar $\dot\phi^2$ en $(2)$ y obtener la siguiente ecuación diferencial para las funciones $(1)$ : $${1\over2}(r'^2+r^2){L^2\over r^4} + r=E\ .$$ Esto se puede reescribir como un primer orden estándar $ODE$ de la siguiente forma: $$r'=\pm{r\over L}\sqrt{2Er^2-L^2-2r^3}\qquad(r>0)\ .\tag{3}$$ El ODE $(3)$ se puede separar. De hecho, se obtienen las funciones inversas $r\mapsto \phi(r)$ por una mera cuadratura: $${d\phi\over dr}=\pm{L\over r}\bigl(2Er^2-L^2-2r^3\bigr)^{-1/2}\ .$$ Por desgracia, la integral resultante no es elemental para valores generales de $E$ y $L$ .

Answer 3

• Un cono poco profundo que se abre hacia arriba, hecho de aluminio, constituye un verdadero pozo potencial para que ruede un rodamiento de bolas, simulando de cerca una partícula que se mueve sometida a una fuerza central de magnitud constante, excepto por el rozamiento: el movimiento no es conservador. La órbita es una flor con 7 pétalos de tamaño decreciente a medida que el movimiento decae, con el séptimo pétalo apuntando en la misma dirección que el primero. Después de unos 10 pétalos, la bola cae por un agujero central.

• Una calculadora TI 83 calcula fácilmente la trayectoria (path) y el horario (time table), necesitando aproximadamente un minuto para el cálculo de la integral impropia de la cuadratura no refinada. Las integrales deben ser truncadas en sus integrales superiores e inferiores para hacerlas adecuadas, con correcciones añadidas en los límites de integración, para un cálculo eficiente.

• La cuadratura no refinada es una integral elíptica que puede reducirse a una forma canónica en la que las integrales son propias. La trayectoria theta(rho) es una integral elíptica de tercer tipo y el horario t(rho) es una combinación de integrales elípticas de primer y segundo tipo. Estas fórmulas no son muy complicadas, pero ha sido necesario encontrar las transformaciones adecuadas para lograr la reducción. La forma reducida se ejecuta en una calculadora TI 83 en unos 3 segundos, mucho más rápido que la cuadratura sin refinar.

Lo mejor, Chuck